Question

Вокруг конуса описана сфера, которая проходит через окружность основания конуса и его вершину. Центр сферы совпадает с центром основания конуса. Радиус сферы равен $70\sqrt{2}$ . Найдите образующую конуса.

Рисунок

![Рисунок](https://afb4a530-22b8-416e-b47b-cdbbbe63bf2f.selstorage.ru/files/HLVgOFLxAf18eT7oNAJ9jRjjhhlhcpOC4hoEqhgI.jpg)

Accepted Answer

140

Answer

Идея решения: радиус сферы совпадает с радиусом основания конуса, а образующая является гипотенузой прямоугольного треугольника с катетами, равными радиусам.

Обозначим радиус основания конуса через $r$. Поскольку центр сферы находится в центре основания конуса и сфера проходит через окружность основания, радиус сферы равен радиусу основания:

$$r = 70\sqrt{2}$$

Рассмотрим осевое сечение конуса. Образующая конуса, радиус основания и высота конуса образуют прямоугольный треугольник. Однако, поскольку центр сферы находится в центре основания и сфера проходит через вершину конуса, высота конуса равна радиусу сферы.

Образующая $l$ является гипотенузой равнобедренного прямоугольного треугольника, где оба катета равны $r$:

$$l^2 = r^2 + r^2 = 2r^2$$

$$l = \sqrt{2} \cdot r = \sqrt{2} \cdot 70\sqrt{2} = 70 \cdot 2 = 140$$

Задание №3СтереометрияЕГЭ по математике