Question

Объём куба составляет 80. Найдите объём треугольной призмы, которая отсекается от куба плоскостью, проходящей через середины двух рёбер, выходящих из одной вершины, и параллельной третьему ребру, выходящему из этой же вершины.

Рисунок

![Рисунок](https://afb4a530-22b8-416e-b47b-cdbbbe63bf2f.selstorage.ru/files/hBXi1bHguXqayll3Lz0PBNjMxr3NV6uO4Sxl4enT.jpg)

Accepted Answer

10

Answer

Идея решения: выразить объём призмы через площадь её основания и высоту, используя подобие треугольников и соотношение площадей.

Обозначим куб как $ABCDA_1B_1C_1D_1$ с объёмом:

$$V_{ABCDA_1B_1C_1D_1} = S_{ABCD} \cdot CC_1 = 80$$

Отсюда площадь основания куба:

$$S_{ABCD} = \frac{80}{CC_1}$$

Пусть $E$ и $F$ — середины рёбер, выходящих из вершины $C$, а плоскость проходит через эти точки параллельно третьему ребру. Тогда $EF$ является средней линией треугольника $BCD$, отсекая от него треугольник $EFC$, подобный исходному с коэффициентом подобия $\frac{1}{2}$.

Площадь треугольника $ABC$ составляет половину площади основания куба:

$$S_{ABC} = \frac{1}{2}S_{ABCD}$$

Площадь отсечённого треугольника $EFC$:

$$S_{EFC} = \frac{1}{4}S_{ABC} = \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2}S_{ABCD} = \frac{1}{8}S_{ABCD}$$

Объём треугольной призмы $CEFC_1E_1F_1$ с основанием $EFC$ и высотой $CC_1$:

$$V_{CEFC_1E_1F_1} = S_{EFC} \cdot CC_1 = \frac{1}{8}S_{ABCD} \cdot CC_1 = \frac{1}{8} \cdot \frac{80}{CC_1} \cdot CC_1 = 10$$

Задание №3СтереометрияЕГЭ по математике