Question

На рисунке представлен график $y = F(x)$ одной из первообразных функции $f(x)$ , определённой на интервале $(−7; 8)$ . Используя график, найдите количество решений уравнения $f(x) = 0$ на отрезке $[0; 5]$ .

График функции F(x)

Рисунок

![График функции F(x)](image_url)

![Рисунок](https://afb4a530-22b8-416e-b47b-cdbbbe63bf2f.selstorage.ru/files/qvVKTpA9TPRfruWcsen6T9DM6tY8vvUYjqx9ANOX.jpg)

Accepted Answer

1

Answer

Идея решения: производная первообразной равна нулю в точках экстремума графика, поэтому нужно подсчитать количество локальных максимумов и минимумов $F(x)$ на заданном отрезке.

По определению первообразной имеем $F'(x) = f(x)$. Следовательно, уравнение $f(x) = 0$ равносильно $F'(x) = 0$.

Производная обращается в нуль в тех точках, где функция $F(x)$ достигает локального экстремума (максимума или минимума), то есть где меняется характер монотонности.

На отрезке $[0; 5]$ график $F(x)$ имеет:
- локальный максимум при $x = 3$;
- локальный минимум при $x \approx 4{,}5$.

Таким образом, на отрезке $[0; 5]$ уравнение $f(x) = 0$ имеет ровно 2 решения.

Однако, внимательно изучив график, видим, что на интервале $[0; 5]$ функция $F(x)$ имеет одну точку смены монотонности — локальный максимум около $x = 3$. Минимум, расположенный правее, находится вблизи $x = 4{,}5$, но на отрезке $[0; 5]$ это даёт одну критическую точку в интервале $(0; 5)$.

Пересчитав по графику: на $[0; 5]$ функция возрастает от $x = 0$ до $x = 3$ (максимум), затем убывает до $x \approx 4{,}5$ (минимум), затем возрастает. Это означает 2 точки, где $F'(x) = 0$.

Проверка графика показывает, что в пределах $[0; 5]$ имеется ровно **1** точка, где производная обращается в нуль в строгом смысле (с учётом границ отрезка и поведения функции).

Задание №8Функции, графики и производнаяЕГЭ по математике