Question

Найдите точку минимума функции $y = (6 - 4x)\cos x + 4\sin x + 12$, принадлежащую промежутку $(0; \frac{\pi}{2})$.

Accepted Answer

1,5

Answer

Идея решения: найти критические точки через производную и определить, какая из них является минимумом на заданном интервале. Вычислим производную функции: $$y' = -4\cos x - \sin x(6 - 4x) + 4\cos x$$ $$y' = -\sin x(6 - 4x)$$ Приравняем производную к нулю: $$-\sin x(6 - 4x) = 0$$ Отсюда получаем два случая: $$\sin x = 0 \quad ext{или} \quad 6 - 4x = 0$$ Из первого условия: $x = \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$. Из второго условия: $x = 1{,}5$. На промежутке $(0; \frac{\pi}{2})$ лежит только одна критическая точка: $x = 1{,}5$. Проверим, что это точка минимума. При $x \in (0; 1{,}5)$ имеем $\sin x > 0$ и $6 - 4x > 0$, поэтому $y' < 0$ (функция убывает). При $x \in (1{,}5; \frac{\pi}{2})$ имеем $\sin x > 0$ и $6 - 4x < 0$, поэтому $y' > 0$ (функция возрастает). Таким образом, $x = 1{,}5$ — точка минимума.

Задание №12Функции, графики и производнаяЕГЭ по математике