Question

Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых уравнение
$$\sqrt{x^4 + 4x^2 + 9a^2} - x^2 + 2x - 3a = 0$$
имеет ровно 3 решения.

Accepted Answer

Answer

Идея решения: возведём уравнение в квадрат, найдём все корни алгебраического уравнения, проверим условие неотрицательности подкоренного выражения и определим, при каких значениях параметра получается ровно три решения.

Исходное уравнение равносильно системе:
$$\begin{cases}
x^4 + 4x^2 + 9a^2 = (x^2 + 2x - 3a)^2 \
x^2 + 2x - 3a \geq 0
\end{cases}$$

Раскроем скобки в первом уравнении, используя формулу $(u + v + w)^2 = u^2 + v^2 + w^2 + 2uv + 2uw + 2vw$:

$$(x^2 + 2x - 3a)^2 = x^4 + 4x^2 + 9a^2 + 4x^3 - 6ax^2 - 12ax$$

Приравняем к левой части:
$$x^4 + 4x^2 + 9a^2 = x^4 + 4x^2 + 9a^2 + 4x^3 - 6ax^2 - 12ax$$

Упростим:
$$4x^3 - 6ax^2 - 12ax = 0$$

$$2x(2x^2 - 3ax - 6a) = 0$$

Отсюда $x_1 = 0$ или $2x^2 + (4 - 3a)x - 6a = 0$.

Для квадратного уравнения найдём дискриминант:
$$D = (4 - 3a)^2 + 48a = 16 - 24a + 9a^2 + 48a = 9a^2 + 24a + 16 = (3a + 4)^2$$

Корни:
$$x_2 = \frac{-(4 - 3a) + (3a + 4)}{4} = \frac{6a}{4} = \frac{3a}{2}$$

$$x_3 = \frac{-(4 - 3a) - (3a + 4)}{4} = \frac{-8}{4} = -2$$

Проверим условие $x^2 + 2x - 3a \geq 0$ для каждого корня.

**Для $x_1 = 0$:**
$$0 + 0 - 3a \geq 0 \Rightarrow a \leq 0$$

**Для $x_2 = \frac{3a}{2}$:**
$$\frac{9a^2}{4} + 3a - 3a \geq 0 \Rightarrow \frac{9a^2}{4} \geq 0$$

Это верно для всех $a \in \mathbb{R}$.

**Для $x_3 = -2$:**
$$4 - 4 - 3a \geq 0 \Rightarrow a \leq 0$$

Проверим совпадение корней:
- $x_1 = x_2$: $0 = \frac{3a}{2} \Rightarrow a = 0$
- $x_2 = x_3$: $\frac{3a}{2} = -2 \Rightarrow a = -\frac{4}{3}$
- $x_1 = x_3$: $0 
eq -2$ (никогда не совпадают)

Анализируем количество решений:

- При $a > 0$: корни $x_1 = 0$ и $x_3 = -2$ не удовлетворяют условию; остаётся только $x_2 = \frac{3a}{2}$ — **1 решение**.

- При $a = 0$: $x_1 = 0$ и $x_2 = 0$ совпадают, $x_3 = -2$ — **2 решения**.

- При $-\frac{4}{3} < a < 0$: все три корня различны и удовлетворяют условиям — **3 решения**.

- При $a = -\frac{4}{3}$: $x_2 = -2 = x_3$ совпадают, $x_1 = 0$ — **2 решения**.

- При $a < -\frac{4}{3}$: все три корня различны и удовлетворяют условиям — **3 решения**.

Уравнение имеет ровно 3 решения при $a \in (-\infty; -\frac{4}{3}) \cup (-\frac{4}{3}; 0)$.

Задание №18Параметры и теория чиселЕГЭ по математике