Question

Найдите наименьшее значение функции $y = 3\cos x - 5x + 5$ на отрезке $\left[-\frac{3\pi}{2}; 0\right]$.

Accepted Answer

8

Answer

Идея решения: найти критические точки через производную, установить монотонность функции и вычислить значение на границе отрезка.

Вычислим производную:

$$y' = -3\sin x - 5$$

Приравняем её к нулю:

$$-3\sin x - 5 = 0$$

$$\sin x = -\frac{5}{3}$$

Поскольку $-\frac{5}{3} < -1$, а область значений синуса — отрезок $[-1; 1]$, уравнение решений не имеет.

Так как $y' = -3\sin x - 5$ и $\sin x \in [-1; 1]$, имеем $-3\sin x \in [-3; 3]$, следовательно $y' \in [-8; -2]$. Производная всегда отрицательна, поэтому функция строго убывает на всём отрезке $\left[-\frac{3\pi}{2}; 0\right]$.

Минимум убывающей функции достигается в правой границе интервала:

$$y(0) = 3\cos 0 - 5 \cdot 0 + 5 = 3 + 5 = 8$$

Задание №12Функции, графики и производнаяЕГЭ по математике