Question

Найдите все значения $a$, при каждом из которых система уравнений

$$\begin{cases}
(x + ay - 4)(x + ay - 4a) = 0 \
x^2 + y^2 = 9
\end{cases}$$

имеет ровно четыре различных решения.

Accepted Answer

Answer

Идея решения: при $a = 1$ первое уравнение задаёт одну прямую, а при $a eq 1$ — две параллельные прямые; нужно найти, когда каждая из них пересекает окружность ровно в двух точках. **Анализ первого уравнения** При $a = 1$ уравнение $(x + y - 4)(x + y - 4) = 0$ определяет прямую $x + y = 4$. При $a eq 1$ произведение равно нулю, когда $x + ay = 4$ или $x + ay = 4a$. Обозначим эти прямые как $l_1$ и $l_2$ соответственно. **Анализ второго уравнения** Уравнение $x^2 + y^2 = 9$ задаёт окружность $\omega$ с центром в начале координат и радиусом 3. Поскольку прямая и окружность пересекаются не более чем в двух точках, система имеет ровно четыре решения тогда и только тогда, когда $a eq 1$ и каждая из прямых $l_1$ и $l_2$ пересекает окружность ровно в двух точках. **Пересечение $l_1$ с окружностью** Подставим $x = 4 - ay$ в уравнение окружности: $$(4 - ay)^2 + y^2 = 9$$ $$16 - 8ay + a^2y^2 + y^2 = 9$$ $$(a^2 + 1)y^2 - 8ay + 7 = 0$$ Для двух различных корней требуется положительный дискриминант: $$D_1 = 64a^2 - 28(a^2 + 1) > 0$$ $$64a^2 - 28a^2 - 28 > 0$$ $$36a^2 - 28 > 0$$ $$9a^2 - 7 > 0$$ $$(3a - \sqrt{7})(3a + \sqrt{7}) > 0$$ Отсюда $a < -\frac{\sqrt{7}}{3}$ или $a > \frac{\sqrt{7}}{3}$. **Пересечение $l_2$ с окружностью** Подставим $x = 4a - ay$ в уравнение окружности: $$(4a - ay)^2 + y^2 = 9$$ $$16a^2 - 8a^2y + a^2y^2 + y^2 = 9$$ $$(a^2 + 1)y^2 - 8a^2y + 16a^2 - 9 = 0$$ Для двух различных корней: $$D_2 = 64a^4 - 4(a^2 + 1)(16a^2 - 9) > 0$$ $$64a^4 - 64a^4 + 36a^2 - 64a^2 + 36 > 0$$ $$-28a^2 + 36 > 0$$ $$9 - 7a^2 > 0$$ $$7a^2 < 9$$ $$a^2 < \frac{9}{7}$$ $$-\frac{3}{\sqrt{7}} < a < \frac{3}{\sqrt{7}}$$ или $-\frac{3\sqrt{7}}{7} < a < \frac{3\sqrt{7}}{7}$. **Объединение условий** Требуется одновременно: - $a eq 1$ - $a < -\frac{\sqrt{7}}{3}$ или $a > \frac{\sqrt{7}}{3}$ - $-\frac{3\sqrt{7}}{7} < a < \frac{3\sqrt{7}}{7}$ Заметим, что $\frac{\sqrt{7}}{3} = \frac{\sqrt{7}}{3} \approx 0{,}882$ и $\frac{3\sqrt{7}}{7} = \frac{3\sqrt{7}}{7} \approx 1{,}134$. Пересечение условий даёт: $$-\frac{3\sqrt{7}}{7} < a < -\frac{\sqrt{7}}{3} \quad ext{или} \quad \frac{\sqrt{7}}{3} < a < \frac{3\sqrt{7}}{7}$$ Поскольку $1 \in \left(\frac{\sqrt{7}}{3}, \frac{3\sqrt{7}}{7} ight)$, исключаем $a = 1$: $$-\frac{3\sqrt{7}}{7} < a < -\frac{\sqrt{7}}{3} \quad ext{или} \quad \frac{\sqrt{7}}{3} < a < 1 \quad ext{или} \quad 1 < a < \frac{3\sqrt{7}}{7}$$

Задание №18Параметры и теория чиселЕГЭ по математике