Question

Дано натуральное число. Разрешены две операции: вычесть из него утроенную сумму его цифр либо прибавить к нему утроенную сумму его цифр. Полученное число должно оставаться натуральным.

а) Возможно ли из числа 128 получить число 29?

б) Возможно ли из числа 128 получить число 31?

в) Какое наименьшее натуральное число можно получить из 128?

Accepted Answer

Answer

Идея решения: использовать инвариант остатка при делении на 3 для доказательства невозможности в пункте б) и найти минимальное достижимое число через анализ остатков.

**а)** Приведём последовательность операций:

$$128 \xrightarrow{-33} 95 \xrightarrow{-42} 53 \xrightarrow{-24} 29$$

Здесь вычитаются утроенные суммы цифр: $3(1+2+8) = 33$, $3(9+5) = 42$, $3(5+3) = 24$.

**б)** Заметим, что утроенная сумма цифр любого натурального числа кратна 3. Поэтому при прибавлении или вычитании утроенной суммы цифр остаток числа при делении на 3 не меняется.

Число 128 при делении на 3 даёт остаток 2 (так как $128 = 42 \cdot 3 + 2$).

Число 31 при делении на 3 даёт остаток 1 (так как $31 = 10 \cdot 3 + 1$).

Поскольку остатки различны, число 31 недостижимо из 128.

**в)** Среди натуральных чисел с остатком 2 при делении на 3 наименьшее — это 2.

Число 1 имеет остаток 1 при делении на 3, поэтому его получить нельзя.

Покажем, что число 2 достижимо:

$$128 \xrightarrow{-33} 95 \xrightarrow{-42} 53 \xrightarrow{+24} 77 \xrightarrow{-42} 35 \xrightarrow{+24} 59$$

$$59 \xrightarrow{-42} 17 \xrightarrow{+24} 41 \xrightarrow{-15} 26 \xrightarrow{-24} 2$$

Задание №19Параметры и теория чиселЕГЭ по математике