Question

Дана трапеция $KLMN$ с основаниями $KN$ и $LM$. Диагональ $LN$ разбивает её на два равнобедренных треугольника с основаниями $KN$ и $MN$.

а) Докажите, что луч $KM$ — биссектриса угла $\angle LKN$.

б) Найдите $MN$, если известны диагонали трапеции: $KM = 20$, $LN = 10{,}5$.

Accepted Answer

Answer

Идея решения: из равнобедренности двух треугольников следует, что $KL = LM$, что делает треугольник $KLM$ равнобедренным; затем используем свойство накрест лежащих углов.

**а) Доказательство**

Поскольку $	riangle KLN$ равнобедренный с основанием $KN$, имеем:

$$KL = LN$$

Поскольку $	riangle LMN$ равнобедренный с основанием $MN$, имеем:

$$LN = LM$$

Из этих двух равенств получаем:

$$KL = LM$$

Следовательно, $	riangle KLM$ — равнобедренный с основанием $KM$, откуда:

$$\angle LKM = \angle LMK$$

Так как $LM \parallel KN$ (основания трапеции), углы $\angle LMK$ и $\angle MKN$ — накрест лежащие при секущей $KM$:

$$\angle LMK = \angle MKN$$

Объединяя полученные равенства:

$$\angle LKM = \angle MKN$$

Это означает, что луч $KM$ делит угол $\angle LKN$ пополам, то есть является его биссектрисой.

**б) Вычисление $MN$**

Из пункта а) установлено, что:

$$KL = LN = LM = 10{,}5$$

Точки $K$, $N$, $M$ лежат на окружности с центром $L$ и радиусом $10{,}5$. Продлим основание $LM$ до пересечения с окружностью в точке $S$. Тогда $SM$ — диаметр окружности.

Четырёхугольник $SMNK$ образует равнобедренную трапецию, поэтому:

$$KS = MN$$

В треугольнике $SKM$ угол $\angle SKM$ опирается на диаметр $SM$, следовательно:

$$\angle SKM = 90°$$

Диаметр окружности:

$$SM = 2 \cdot LM = 2 \cdot 10{,}5 = 21$$

По теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике $SKM$:

$$KS^2 = SM^2 - KM^2$$

$$KS^2 = 21^2 - 20^2 = 441 - 400 = 41$$

$$KS = \sqrt{41}$$

Следовательно:

$$MN = \sqrt{41}$$

Задание №17ПланиметрияЕГЭ по математике