Question

Найдите все значения $a$, при каждом из которых уравнение
$$\left( \left| x-a-1 \right|+\left| x-a+1 \right| \right)^{2}+a\left( \left| x-a-1 \right|+\left| x-a+1 \right| \right)+a^{2}-16=0$$
имеет ровно два различных корня.

Accepted Answer

Answer

Идея решения: введём замену для суммы модулей, проанализируем её поведение на разных интервалах, а затем найдём условия на параметр, при которых исходное уравнение имеет ровно два решения. Обозначим $t = \left| x-a-1 ight|+\left| x-a+1 ight|$. Тогда исходное уравнение принимает вид: $$t^{2}+at+a^{2}-16=0$$ Проанализируем поведение функции $t(x) = \left| x-a-1 ight|+\left| x-a+1 ight|$. Нули подмодульных выражений: $x = a+1$ и $x = a-1$. На трёх интервалах получаем: - При $x \leq a-1$: $t = -x+a+1-x+a-1 = -2x+2a$ - При $a-1 < x < a+1$: $t = -x+a+1+x-a+1 = 2$ - При $x \geq a+1$: $t = x-a-1+x-a+1 = 2x-2a$ Таким образом, функция $t(x)$ имеет минимум, равный 2, на отрезке $[a-1, a+1]$, и возрастает при $x < a-1$ и при $x > a+1$. Для каждого значения $t$: - Если $t = 2$, то $x$ может быть любым из отрезка $[a-1, a+1]$ (бесконечное множество решений). - Если $t < 2$, решений нет. - Если $t > 2$, существует ровно два значения $x$ (по одному на каждом из крайних интервалов). Чтобы исходное уравнение имело ровно два решения, квадратное уравнение $t^{2}+at+a^{2}-16=0$ должно иметь два различных корня, один из которых больше 2, а другой меньше 2. **Случай 1:** Два различных корня по разным сторонам от $t = 2$. Парабола $f(t) = t^{2}+at+a^{2}-16$ ветвями направлена вверх. Условие того, что корни лежат по разным сторонам от 2: $$f(2) < 0$$ $$4 + 2a + a^{2} - 16 < 0$$ $$a^{2} + 2a - 12 < 0$$ $$(a+1)^{2} - 13 < 0$$ $$(a+1-\sqrt{13})(a+1+\sqrt{13}) < 0$$ Отсюда $a \in (-1-\sqrt{13}, -1+\sqrt{13})$. **Случай 2:** Двойной корень, расположенный правее 2. Дискриминант равен нулю: $$a^{2} - 4(a^{2}-16) = 0$$ $$-3a^{2} + 64 = 0$$ $$a^{2} = \frac{64}{3}$$ $$a = \pm\frac{8\sqrt{3}}{3}$$ Вершина параболы находится в точке $t_{ ext{верш}} = -\frac{a}{2}$. Условие $t_{ ext{верш}} > 2$: $$-\frac{a}{2} > 2 \Rightarrow a < -4$$ Проверим: $-\frac{8\sqrt{3}}{3} \approx -4{,}62 < -4$ ✓, а $\frac{8\sqrt{3}}{3} \approx 4{,}62 > -4$ ✗. Следовательно, из этого случая подходит только $a = -\frac{8\sqrt{3}}{3}$. Объединяя оба случая, получаем: $$a \in (-1-\sqrt{13}, -1+\sqrt{13}) \cup \left\{-\frac{8\sqrt{3}}{3} ight\}$$

Задание №18Параметры и теория чиселЕГЭ по математике