Question

Решите неравенство:

$$\frac{1}{(\log_3 x + 1)^2} \leq (\log_{\sqrt{3}} x)^2 + \log_3 x^4 + 1$$

Accepted Answer

Answer

Идея решения: привести обе части к единому основанию логарифма, сделать замену переменной и решить рациональное неравенство методом интервалов.

**Область допустимых значений:**

Требуется $x > 0$, $x^4 > 0$ и $(\log_3 x + 1)^2 
eq 0$.

Это даёт $x \in (0; \frac{1}{3}) \cup (\frac{1}{3}; +\infty)$.

**Упрощение правой части:**

Преобразуем логарифмы к основанию 3:

$$(\log_{\sqrt{3}} x)^2 = (\log_{3^{1/2}} x)^2 = (2\log_3 x)^2 = 4\log_3^2 x$$

$$\log_3 x^4 = 4\log_3 x$$

Подставим в исходное неравенство:

$$\frac{1}{(\log_3 x + 1)^2} \leq 4\log_3^2 x + 4\log_3 x + 1$$

**Замена переменной:**

Обозначим $t = \log_3 x$, где $t 
eq -1$:

$$\frac{1}{(t + 1)^2} \leq 4t^2 + 4t + 1$$

Заметим, что $4t^2 + 4t + 1 = (2t + 1)^2$:

$$\frac{1}{(t + 1)^2} \leq (2t + 1)^2$$

**Решение рационального неравенства:**

Перенесём всё в левую часть:

$$\frac{(2t + 1)^2(t + 1)^2 - 1}{(t + 1)^2} \geq 0$$

Раскроем скобки в числителе. Обозначим $A = (2t + 1)(t + 1)$:

$$A = 2t^2 + 3t + 1$$

Тогда $(2t + 1)^2(t + 1)^2 - 1 = A^2 - 1 = (A - 1)(A + 1)$:

$$(A - 1)(A + 1) = (2t^2 + 3t)(2t^2 + 3t + 2)$$

Разложим $2t^2 + 3t = t(2t + 3)$ и $2t^2 + 3t + 2$ (дискриминант отрицателен, множитель всегда положителен):

$$\frac{t(2t + 3)(2t^2 + 3t + 2)}{(t + 1)^2} \geq 0$$

**Анализ знаков:**

Нули числителя: $t = 0$, $t = -\frac{3}{2}$.

Полюс: $t = -1$ (кратность 2).

По методу интервалов:

$$t \in \left[-\frac{3}{2}; -1ight) \cup (-1; 0] \cup [0; +\infty) = \left[-\frac{3}{2}; -1ight) \cup (-1; +\infty)$$

Однако с учётом условия $t 
eq -1$:

$$t \in \left(-\infty; -\frac{3}{2}ight] \cup [0; +\infty)$$

**Обратная замена:**

$$\log_3 x \leq -\frac{3}{2} \quad 	ext{или} \quad \log_3 x \geq 0$$

$$\log_3 x \leq \log_3 3^{-3/2} \quad 	ext{или} \quad \log_3 x \geq \log_3 1$$

$$x \leq \frac{1}{3\sqrt{3}} \quad 	ext{или} \quad x \geq 1$$

С учётом ограничений области определения:

$$x \in \left(0; \frac{1}{3\sqrt{3}}ight] \cup [1; +\infty)$$

Задание №15НеравенстваЕГЭ по математике