Question

В основании пирамиды $SABCD$ лежит трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$ , равными 8 и 3 соответственно. Точки $M$ и $N$ лежат на рёбрах $SD$ и $BC$ соответственно, причём $SM:MD = 3:2$ , $BN:NC = 1:2$ . Плоскость $AMN$ пересекает ребро $SC$ в точке $K$ .

а) Докажите, что $SK:KC = 6:1$ .

б) Плоскость $AMN$ делит пирамиду $SABCD$ на два многогранника. Найдите отношение их объёмов.

а) Докажите, что $SK:KC = 6:1$.

б) Плоскость $AMN$ делит пирамиду $SABCD$ на два многогранника. Найдите отношение их объёмов.

Accepted Answer

Answer

Идея решения: построить сечение плоскостью $AMN$, применить теорему Менелая для нахождения точки $K$, а затем вычислить объёмы образовавшихся частей через подобие треугольников и площади оснований.

**а) Доказательство**

Продлим прямую $AN$ до пересечения с прямой $CD$ и обозначим точку пересечения как $E$. Соединим точки $E$ и $M$; пересечение $EM$ с ребром $SC$ даёт точку $K$.

Обозначим $BN = x$, тогда $NC = 2x$. Из условия $BC = 3$ получаем $3x = 3$, откуда $x = 1$. Таким образом, $BN = 1$ и $NC = 2$.

Рассмотрим треугольники $NEC$ и $AED$. Угол $AED$ — общий; углы $BCE$ и $ADE$ равны как соответственные углы при параллельных прямых $BC$ и $AD$. Следовательно, $	riangle NEC \sim 	riangle AED$ по двум углам.

Из подобия:
$$\frac{NC}{AD} = \frac{EC}{ED} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$$

Применим теорему Менелая к треугольнику $SCD$ и прямой, проходящей через точки $K$, $E$, $M$:
$$\frac{SK}{KC} \cdot \frac{CE}{ED} \cdot \frac{DM}{MS} = 1$$

Подставим известные значения:
$$\frac{SK}{KC} \cdot \frac{1}{4} \cdot \frac{2}{3} = 1$$

$$\frac{SK}{KC} = \frac{4 \cdot 3}{2} = 6$$

Таким образом, $SK:KC = 6:1$. ✓

**б) Нахождение отношения объёмов**

Обозначим высоту пирамиды как $SO = H$, где $O$ — проекция вершины $S$ на основание. Пусть $h$ — высота трапеции $ABCD$.

Из подобия треугольников $SDO$ и $MDH_1$ (где $H_1$ — проекция $M$ на основание) получаем:
$$\frac{MH_1}{SO} = \frac{MD}{SD} = \frac{2}{5}$$

Следовательно, $MH_1 = \frac{2}{5}H$.

Площадь четырёхугольника $ANCD$:
$$S_{ANCD} = h \cdot \frac{NC + AD}{2} = h \cdot \frac{2 + 8}{2} = 5h$$

Площадь основания пирамиды:
$$S_{ABCD} = h \cdot \frac{AD + BC}{2} = h \cdot \frac{8 + 3}{2} = \frac{11h}{2}$$

Из подобия треугольников $SOC$ и $KH_2C$ (где $H_2$ — проекция $K$ на основание):
$$\frac{KH_2}{SO} = \frac{KC}{SC} = \frac{1}{7}$$

Следовательно, $KH_2 = \frac{1}{7}H$.

Из подобия $	riangle NEC \sim 	riangle AED$ с коэффициентом $k = \frac{1}{4}$:
$$\frac{S_{NEC}}{S_{AED}} = k^2 = \frac{1}{16}$$

Поэтому $S_{AED} = 16 S_{NEC}$.

Из соотношения $S_{ANCD} = 5h$ и $S_{AED} - S_{NEC} = S_{ANCD}$ получаем:
$$16S_{NEC} - S_{NEC} = 5h$$
$$S_{NEC} = \frac{h}{3}$$

Объём многогранника $ANCDKM$:
$$V_{ANCDKM} = V_{AEDM} - V_{KNEC} = \frac{1}{3}MH_1 \cdot S_{AED} - \frac{1}{3}KH_2 \cdot S_{NEC}$$

$$= \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{5}H \cdot 16 \cdot \frac{h}{3} - \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{7}H \cdot \frac{h}{3}$$

$$= \frac{32Hh}{45} - \frac{Hh}{63} = \frac{224Hh - 5Hh}{315} = \frac{219Hh}{315} = \frac{73Hh}{105}$$

Объём всей пирамиды:
$$V_{SABCD} = \frac{1}{3}H \cdot S_{ABCD} = \frac{1}{3}H \cdot \frac{11h}{2} = \frac{11Hh}{6}$$

Объём второго многогранника:
$$V_{ABNKMS} = V_{SABCD} - V_{ANCDKM} = \frac{11Hh}{6} - \frac{73Hh}{105}$$

$$= \frac{385Hh - 146Hh}{210} = \frac{239Hh}{210}$$

Отношение объёмов:
$$\frac{V_{ABNKMS}}{V_{ANCDKM}} = \frac{239Hh/210}{73Hh/105} = \frac{239}{210} \cdot \frac{105}{73} = \frac{239}{146}$$

Задание №14СтереометрияЕГЭ по математике