Question

Решите неравенство:

$$7\log_{12}(x^2 - 13x + 42) \leq 8 + \log_{12}\frac{(x-7)^7}{x-6}$$

Accepted Answer

Answer

Идея решения: разложить подлогарифмическое выражение, применить свойства логарифмов и свести неравенство к квадратному.

**Область допустимых значений:**

Требуется выполнение двух условий:

$$\begin{cases}
x^2 - 13x + 42 > 0 \
\frac{(x-7)^7}{x-6} > 0
\end{cases}$$

Разложим первое выражение:

$$x^2 - 13x + 42 = (x-6)(x-7)$$

Оба условия приводят к одному ограничению:

$$x \in (-\infty; 6) \cup (7; +\infty)$$

**Преобразование неравенства:**

Заметим, что $x^2 - 13x + 42 = (x-6)(x-7)$. Подставим:

$$7\log_{12}[(x-6)(x-7)] \leq 8 + \log_{12}\frac{(x-7)^7}{x-6}$$

Применим свойства логарифмов:

$$7\log_{12}(x-6) + 7\log_{12}(x-7) \leq 8 + 7\log_{12}(x-7) - \log_{12}(x-6)$$

Сокращаем $7\log_{12}(x-7)$ с обеих сторон:

$$7\log_{12}(x-6) \leq 8 - \log_{12}(x-6)$$

$$8\log_{12}(x-6) \leq 8$$

$$\log_{12}(x-6) \leq 1$$

Возведём в степень основания:

$$x - 6 \leq 12$$

$$x \leq 18$$

**Решение квадратного неравенства (альтернативный путь):**

Из $8\log_{12}(x-6) \leq 8$ получаем $\log_{12}(x-6)^2 \leq 2$, откуда:

$$(x-6)^2 \leq 144$$

$$x^2 - 12x + 36 \leq 144$$

$$x^2 - 12x - 108 \leq 0$$

$$(x+6)(x-18) \leq 0$$

Это даёт $-6 \leq x \leq 18$.

**Пересечение с ОДЗ:**

Объединяем $-6 \leq x \leq 18$ с условием $x \in (-\infty; 6) \cup (7; +\infty)$:

$$x \in [-6; 6) \cup (7; 18]$$

Задание №15НеравенстваЕГЭ по математике