Question

а) Решите уравнение $\frac{{\log}_{2}^{2}\left( \sin x \right)+{\log}_{2}\left( \sin x \right)}{2\cos x-\sqrt{3}}=0$.

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[ \frac{\pi}{2};2\pi \right]$.

Accepted Answer

Answer

Идея решения: дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю; решаем уравнение для числителя через разложение на множители.

**а) Решение уравнения**

Сначала найдём ограничение на знаменатель:

$$2\cos x - \sqrt{3} 
eq 0$$

$$\cos x 
eq \frac{\sqrt{3}}{2}$$

$$x 
eq \pm\frac{\pi}{6} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$$

Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю:

$${\log}_{2}^{2}\left( \sin x ight) + {\log}_{2}\left( \sin x ight) = 0$$

Вынесем общий множитель:

$${\log}_{2}\left( \sin x ight) \cdot \left({\log}_{2}\left( \sin x ight) + 1ight) = 0$$

Отсюда получаем два случая.

**Случай 1:** ${\log}_{2}\left( \sin x ight) = 0$

$$\sin x = 1$$

$$x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$$

**Случай 2:** ${\log}_{2}\left( \sin x ight) = -1$

$$\sin x = \frac{1}{2}$$

$$x = \frac{\pi}{6} + 2\pi n \quad 	ext{или} \quad x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$$

Проверим ограничение. Значение $x = \frac{\pi}{6} + 2\pi n$ исключается условием $x 
eq \frac{\pi}{6} + 2\pi k$. Значение $x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi n$ не совпадает с исключённым значением.

С учётом ограничения получаем:

$$x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$$

$$x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$$

**б) Отбор корней на отрезке**

На отрезке $\left[ \frac{\pi}{2}; 2\pi ight]$ отберём корни с помощью тригонометрической окружности (см. рисунок).

Из семейства $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$: при $k = 0$ получаем $x = \frac{\pi}{2}$ — принадлежит отрезку.

Из семейства $x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi n$: при $n = 0$ получаем $x = \frac{5\pi}{6}$ — принадлежит отрезку.

![Тригонометрическая окружность с отмеченными корнями](image_url)

Задание №13УравненияЕГЭ по математике