Question

Для сматывания кабеля на заводе используют лебёдку, которая равноускоренно наматывает кабель на катушку. Угол, на который поворачивается катушка, изменяется со временем по закону:

$$\varphi = \omega t + \frac{\beta t^2}{2}$$

где $t$ — время в минутах, прошедшее после начала работы лебёдки, $\omega = 50$ град./мин — начальная угловая скорость вращения катушки, $\beta = 4$ град./мин² — угловое ускорение, с которым наматывается кабель.

Определите время, прошедшее после начала работы лебёдки, если за это время угол намотки $\varphi$ достиг $2500°$. Ответ дайте в минутах.

Accepted Answer

25

Answer

Идея решения: подставить известные значения в формулу закона изменения угла и решить полученное квадратное уравнение.

Подставим в формулу угла значения $\varphi = 2500$, $\omega = 50$ и $\beta = 4$:

$$2500 = 50t + \frac{4t^2}{2}$$

Упростим:

$$2500 = 50t + 2t^2$$

Перенесём все в левую часть:

$$2t^2 + 50t - 2500 = 0$$

Разделим на 2:

$$t^2 + 25t - 1250 = 0$$

Решим квадратное уравнение через дискриминант:

$$D = 625 + 5000 = 5625 = 75^2$$

$$t = \frac{-25 \pm 75}{2}$$

Получаем два корня:

$$t_1 = \frac{-25 + 75}{2} = \frac{50}{2} = 25$$

$$t_2 = \frac{-25 - 75}{2} = \frac{-100}{2} = -50$$

Так как время не может быть отрицательным, $t = 25$ минут.

Задание №9Числа, выражения и тождественные преобразованияЕГЭ по математике