Question

Локатор батискафа, погружающегося вертикально вниз с постоянной скоростью, излучает ультразвуковые импульсы с частотой 494 МГц. Скорость погружения батискафа (в м/с) вычисляется по формуле:

$$u = c \cdot \frac{f - f_0}{f + f_0}$$

где $c = 1500$ м/с — скорость звука в воде, $f_0$ — частота излучаемых импульсов (в МГц), $f$ — частота отражённого от дна сигнала, принимаемого приёмником (в МГц).

Найдите максимальную частоту отражённого сигнала $f$, если скорость погружения батискафа не должна превышать 18 м/с. Ответ выразите в МГц.

Accepted Answer

506

Answer

Идея решения: составить неравенство для ограничения скорости и найти максимальное значение частоты отражённого сигнала.

Условие на скорость погружения даёт неравенство:

$$u \leq 18$$

Подставим формулу для $u$:

$$c \cdot \frac{f - f_0}{f + f_0} \leq 18$$

Подставим известные значения $c = 1500$ м/с и $f_0 = 494$ МГц:

$$1500 \cdot \frac{f - 494}{f + 494} \leq 18$$

Разделим обе части на 1500:

$$\frac{f - 494}{f + 494} \leq \frac{18}{1500} = \frac{3}{250} = 0{,}012$$

Умножим обе части на $(f + 494)$ (при условии $f > -494$, что выполнено для физически допустимых частот):

$$f - 494 \leq 0{,}012(f + 494)$$

$$f - 494 \leq 0{,}012f + 5{,}928$$

$$f - 0{,}012f \leq 5{,}928 + 494$$

$$0{,}988f \leq 499{,}928$$

$$f \leq \frac{499{,}928}{0{,}988} = 506$$

Таким образом, максимальная частота отражённого сигнала равна 506 МГц.

Задание №9Числа, выражения и тождественные преобразованияЕГЭ по математике