Question

Найдите точку максимума функции $y = \ln(x-6) - 10x + 12$.

Accepted Answer

6,1

Answer

Идея решения: найти критические точки через производную и определить, где функция достигает максимума. Вычислим производную: $$y' = \frac{1}{x-6} - 10$$ Приведём к общему знаменателю: $$y' = \frac{1 - 10(x-6)}{x-6} = \frac{1 - 10x + 60}{x-6} = \frac{61 - 10x}{x-6}$$ Приравняем производную к нулю: $$\frac{61 - 10x}{x-6} = 0$$ При условии $x eq 6$ числитель должен обращаться в нуль: $$61 - 10x = 0$$ $$x = 6{,}1$$ Проверим знак производной. При $x < 6{,}1$ (и $x > 6$) имеем $61 - 10x > 0$, а знаменатель $x - 6 > 0$, поэтому $y' > 0$. При $x > 6{,}1$ числитель становится отрицательным, поэтому $y' < 0$. Производная меняет знак с положительного на отрицательный, следовательно, $x = 6{,}1$ — точка максимума.

Задание №12Функции, графики и производнаяЕГЭ по математике