Question

Найдите значение выражения $\log_{0{,}4}125 - \log_{0{,}4}8$.

Accepted Answer

-3

Answer

Идея решения: применить свойство разности логарифмов и представить аргументы через степени основания.

Используем формулу разности логарифмов:

$$\log_{0{,}4}125 - \log_{0{,}4}8 = \log_{0{,}4}\frac{125}{8}$$

Заметим, что основание $0{,}4 = \frac{2}{5}$, а также:
- $125 = 5^3$
- $8 = 2^3$

Следовательно:

$$\frac{125}{8} = \frac{5^3}{2^3} = \left(\frac{5}{2}\right)^3$$

Подставим в логарифм:

$$\log_{0{,}4}\left(\frac{5}{2}\right)^3 = \log_{\frac{2}{5}}\left(\frac{5}{2}\right)^3$$

Заметим, что $\frac{5}{2} = \left(\frac{2}{5}\right)^{-1}$, поэтому:

$$\log_{\frac{2}{5}}\left[\left(\frac{2}{5}\right)^{-1}\right]^3 = \log_{\frac{2}{5}}\left(\frac{2}{5}\right)^{-3} = -3$$

Задание №7Числа, выражения и тождественные преобразованияЕГЭ по математике