Question

а) Решите уравнение $2\cos^3 x - \cos^2 x + 2\cos x - 1 = 0$.

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[2\pi; \frac{7\pi}{2}\right]$.

Accepted Answer

Answer

Идея решения: разложить левую часть на множители, выделив общий множитель, а затем решить полученные простейшие уравнения. **а)** Сгруппируем слагаемые: $$\cos^2 x(2\cos x - 1) + (2\cos x - 1) = 0$$ Вынесем общий множитель: $$(\cos^2 x + 1)(2\cos x - 1) = 0$$ Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Рассмотрим первый множитель: $$\cos^2 x + 1 = 0 \implies \cos^2 x = -1$$ Это уравнение решений не имеет, так как $\cos^2 x \geq 0$ для всех $x$. Рассмотрим второй множитель: $$2\cos x - 1 = 0 \implies \cos x = \frac{1}{2}$$ Решение этого уравнения: $$x = \frac{\pi}{3} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$$ $$x = -\frac{\pi}{3} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$$ **б)** Отберём корни из отрезка $\left[2\pi; \frac{7\pi}{2}\right]$. Для первого семейства $x = \frac{\pi}{3} + 2\pi k$: При $k = 1$: $x = \frac{\pi}{3} + 2\pi = \frac{7\pi}{3}$. Проверим: $2\pi = \frac{6\pi}{3} < \frac{7\pi}{3} < \frac{7\pi}{2} = \frac{10{,}5\pi}{3}$ — корень принадлежит отрезку. При $k = 2$: $x = \frac{\pi}{3} + 4\pi = \frac{13\pi}{3} > \frac{7\pi}{2}$ — выходит за границы. Для второго семейства $x = -\frac{\pi}{3} + 2\pi n$: При $n = 1$: $x = -\frac{\pi}{3} + 2\pi = \frac{5\pi}{3} < 2\pi$ — не входит в отрезок. При $n = 2$: $x = -\frac{\pi}{3} + 4\pi = \frac{11\pi}{3}$. Проверим: $2\pi = \frac{6\pi}{3} < \frac{11\pi}{3} < \frac{7\pi}{2} = \frac{10{,}5\pi}{3}$ — не верно, $\frac{11\pi}{3} > \frac{10{,}5\pi}{3}$. При $n = 1$: $x = \frac{5\pi}{3} < 2\pi$ — не подходит.

Задание №13УравненияЕГЭ по математике