Question

В июле 2020 года планируется взять кредит в банке на сумму 200 000 рублей. Условия его возврата таковы:
- каждый январь долг увеличивается на $r$% по сравнению с концом предыдущего года;
- с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга.

Найдите $r$, если известно, что кредит будет полностью погашен за два года, причём в первый год будет выплачено 130 000 рублей, а во второй год — 150 000 рублей.

Accepted Answer

Answer

Идея решения: составить уравнение, отслеживая остаток долга после каждого платежа и применения процентов, затем решить квадратное уравнение относительно коэффициента $k = 1 + \frac{r}{100}$.

Обозначим $S = 200\,000$ рублей, $k = 1 + \frac{r}{100}$ — коэффициент увеличения долга.

Проследим изменение долга по годам:

**После первого года:**
- В январе долг становится $Sk$.
- После выплаты 130 000 рублей остаток: $Sk - 130\,000$.

**После второго года:**
- В январе долг становится $(Sk - 130\,000)k$.
- После выплаты 150 000 рублей долг полностью погашен: $(Sk - 130\,000)k - 150\,000 = 0$.

Раскроем скобки:

$$Sk^2 - 130\,000k - 150\,000 = 0$$

Подставим $S = 200\,000$:

$$200\,000k^2 - 130\,000k - 150\,000 = 0$$

Разделим на 10 000:

$$20k^2 - 13k - 15 = 0$$

Найдём дискриминант:

$$D = 169 + 4 \cdot 20 \cdot 15 = 169 + 1200 = 1369 = 37^2$$

Корни квадратного уравнения:

$$k_1 = \frac{13 + 37}{40} = \frac{50}{40} = \frac{5}{4} = 1{,}25$$

$$k_2 = \frac{13 - 37}{40} = \frac{-24}{40} < 0$$

Второй корень отрицателен и не подходит по смыслу задачи.

Из $k = 1{,}25 = 1 + \frac{r}{100}$ получаем:

$$\frac{r}{100} = 0{,}25$$

$$r = 25$$

Задание №16Финансовая математика и оптимизацияЕГЭ по математике