Question

а) Решите уравнение $8^x - 9 \cdot 2^{x+1} + 2^{5-x} = 0$.

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[\log_5 2; \log_5 20]$.

Accepted Answer

Answer

Идея решения: свести уравнение к степеням одного основания, применить замену переменной и решить полученное биквадратное уравнение. **а)** Преобразуем исходное уравнение, выразив все члены через степени двойки: $$2^{3x} - 9 \cdot 2^x \cdot 2 + \frac{32}{2^x} = 0$$ Введём замену $t = 2^x$, где $t > 0$: $$t^3 - 18t + \frac{32}{t} = 0$$ Умножим обе части на $t$: $$t^4 - 18t^2 + 32 = 0$$ Это биквадратное уравнение. Положим $y = t^2$: $$y^2 - 18y + 32 = 0$$ Вычислим дискриминант: $$D = 18^2 - 4 \cdot 32 = 324 - 128 = 196$$ Найдём корни: $$y_1 = \frac{18 + 14}{2} = 16 \Rightarrow t^2 = 16 \Rightarrow t = \pm 4$$ $$y_2 = \frac{18 - 14}{2} = 2 \Rightarrow t^2 = 2 \Rightarrow t = \pm\sqrt{2}$$ Поскольку $t > 0$, остаются только $t = 4$ и $t = \sqrt{2}$. Возвращаемся к переменной $x$: $$2^x = 4 \Rightarrow 2^x = 2^2 \Rightarrow x = 2$$ $$2^x = \sqrt{2} \Rightarrow 2^x = 2^{1/2} \Rightarrow x = \frac{1}{2}$$ **б)** Проверим, какие корни попадают в отрезок $[\log_5 2; \log_5 20]$. Для $x = 2$: заметим, что $\log_5 25 = 2$. Поскольку $2 < 25$, имеем $\log_5 2 < \log_5 25 = 2$. Также $20 < 25$, поэтому $\log_5 20 < 2$. Следовательно, $2 otin [\log_5 2; \log_5 20]$. Для $x = \frac{1}{2}$: заметим, что $\log_5 \sqrt{5} = \frac{1}{2}$. Поскольку $2 < 5$, имеем $\log_5 2 < \log_5 5 = 1$, откуда $\log_5 2 < \frac{1}{2}$. Кроме того, $\sqrt{5} < 20$, поэтому $\frac{1}{2} = \log_5 \sqrt{5} < \log_5 20$. Таким образом, $\frac{1}{2} \in [\log_5 2; \log_5 20]$.

Задание №13УравненияЕГЭ по математике