Question

Мотоциклист выезжает из города с начальной скоростью $v_0 = 100$ км/ч и начинает разгоняться с постоянным ускорением $a = 32$ км/ч². Расстояние от мотоциклиста до города описывается формулой:

$$S = v_0 t + \frac{at^2}{2}$$

где $t$ — время в часах. Оператор сотовой связи обеспечивает покрытие на расстоянии не более 150 км от города. Найдите максимальное время, в течение которого мотоциклист остаётся в зоне покрытия. Ответ выразите в минутах.

Accepted Answer

75

Answer

Идея решения: найти время, при котором расстояние равно граничному значению 150 км, решив соответствующее неравенство.

Подставим известные значения в формулу расстояния. Мотоциклист находится в зоне покрытия, пока $S \leq 150$:

$$100t + \frac{32t^2}{2} \leq 150$$

Упростим:

$$100t + 16t^2 \leq 150$$

$$16t^2 + 100t - 150 \leq 0$$

Разделим на 2:

$$8t^2 + 50t - 75 \leq 0$$

Найдём корни квадратного уравнения $8t^2 + 50t - 75 = 0$ через дискриминант:

$$D = 50^2 + 4 \cdot 8 \cdot 75 = 2500 + 2400 = 4900$$

$$\sqrt{D} = 70$$

$$t = \frac{-50 \pm 70}{16}$$

Первый корень:

$$t_1 = \frac{-50 - 70}{16} = \frac{-120}{16} = -7{,}5$$

Второй корень:

$$t_2 = \frac{-50 + 70}{16} = \frac{20}{16} = 1{,}25$$

Так как время не может быть отрицательным, рассматриваем только положительный корень. Неравенство $8t^2 + 50t - 75 \leq 0$ выполняется при $0 \leq t \leq 1{,}25$ часа.

Переведём в минуты:

$$1{,}25 	ext{ ч} = 1{,}25 \cdot 60 = 75$$ мин

Задание №9Числа, выражения и тождественные преобразованияЕГЭ по математике