Question

В июле планируется взять кредит в банке на сумму 17 млн рублей на целое число лет. Условия возврата:
- каждый январь долг увеличивается на 15 % относительно конца предыдущего года;
- с февраля по июнь каждого года выплачивается часть долга;
- в июле каждого года долг уменьшается на одну и ту же сумму по сравнению с июлем предыдущего года.

На сколько лет планируется взять кредит, если общая сумма выплат составит 29,75 млн рублей?

Accepted Answer

Answer

Идея решения: найти ежегодное уменьшение долга через уравнение на сумму начисленных процентов, которая равна переплате.

Обозначим коэффициент роста: $p = \frac{15}{100} = 0{,}15 = \frac{3}{20}$.

Пусть $x$ — сумма, на которую долг уменьшается в июле каждого года.

Переплата по кредиту составляет:

$$29{,}75 - 17 = 12{,}75$$ млн рублей

Построим таблицу движения долга:

| Год | Долг до начисления % | Начисленные % | Долг после выплаты | Выплаты |
|-----|---|---|---|---|
| 1 | $S$ | $pS$ | $S-x$ | $x+pS$ |
| 2 | $S-x$ | $p(S-x)$ | $S-2x$ | $x+p(S-x)$ |
| 3 | $S-2x$ | $p(S-2x)$ | $S-3x$ | $x+p(S-2x)$ |
| ... | ... | ... | ... | ... |
| $n$ | $S-(n-1)x$ | $p(S-(n-1)x)$ | $S-nx$ | $x+p(S-(n-1)x)$ |

Из условия полного погашения:

$$S - nx = 0 \implies nx = S = 17$$

Сумма всех начисленных процентов:

$$pS + p(S-x) + p(S-2x) + \ldots + p(S-(n-1)x)$$

$$= p(nS - (x + 2x + \ldots + (n-1)x))$$

$$= p\left(nS - \frac{(n-1)nx}{2}\right)$$

$$= p\left(nS - \frac{nx(n-1)}{2}\right)$$

Подставим $nx = 17$:

$$= p\left(n \cdot 17 - \frac{17(n-1)}{2}\right)$$

$$= p\left(17n - 8{,}5(n-1)\right)$$

$$= p(17n - 8{,}5n + 8{,}5)$$

$$= p(8{,}5n + 8{,}5)$$

Сумма процентов равна переплате:

$$\frac{3}{20}(8{,}5n + 8{,}5) = 12{,}75$$

$$8{,}5n + 8{,}5 = 12{,}75 \cdot \frac{20}{3} = 85$$

$$8{,}5n = 76{,}5$$

$$n = 9$$

Задание №16Финансовая математика и оптимизацияЕГЭ по математике