Question

Решите неравенство $16^{\frac{1}{x}-1}-4^{\frac{1}{x}-1}-2\geq0$.

Accepted Answer

Answer

Идея решения: свести неравенство к квадратному через замену переменной, решить его методом интервалов, а затем вернуться к исходной переменной.

Заметим, что $16^{\frac{1}{x}-1} = (4^2)^{\frac{1}{x}-1} = (4^{\frac{1}{x}-1})^2$.

Введём замену $t = 4^{\frac{1}{x}-1}$, где $t > 0$.

Неравенство принимает вид:

$$t^2 - t - 2 \geq 0$$

Найдём корни квадратного трёхчлена $t^2 - t - 2 = 0$:

$$D = 1 + 8 = 9$$

$$t_1 = \frac{1 + 3}{2} = 2, \quad t_2 = \frac{1 - 3}{2} = -1$$

Разложим на множители:

$$(t - 2)(t + 1) \geq 0$$

По методу интервалов (с учётом условия $t > 0$):

$$t \in [2; +\infty)$$

Возвращаемся к исходной переменной:

$$4^{\frac{1}{x}-1} \geq 2$$

Представим обе части через основание 2:

$$(2^2)^{\frac{1}{x}-1} \geq 2^1$$

$$2^{\frac{2}{x}-2} \geq 2^1$$

Так как показательная функция с основанием 2 возрастает:

$$\frac{2}{x} - 2 \geq 1$$

$$\frac{2}{x} \geq 3$$

$$\frac{2 - 3x}{x} \geq 0$$

Найдём нули числителя и знаменателя: $x = \frac{2}{3}$ и $x = 0$.

По методу интервалов:

$$x \in (0; \frac{2}{3}]$$

![Рисунок](https://afb4a530-22b8-416e-b47b-cdbbbe63bf2f.selstorage.ru/files/KJc55ygPaHpM1YetRLSpZSSG2Xb4B9Xqc8hooS6Z.jpg)

![Рисунок](https://afb4a530-22b8-416e-b47b-cdbbbe63bf2f.selstorage.ru/files/ebAzF9cd6Mp1D2gggcZPTTWWMx8uD9bLf6OHfkmn.jpg)

Задание №15НеравенстваЕГЭ по математике