Question

а) Решите уравнение $4\cos^3 x + 3\sin\left(x - \frac{\pi}{2}\right) = 0$.

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[-2\pi; -\pi\right]$.

Accepted Answer

Answer

Идея решения: упростить левую часть, используя формулу приведения, затем разложить на множители и решить совокупность простейших тригонометрических уравнений.

**а) Решение уравнения**

Применим формулу приведения: $\sin\left(x - \frac{\pi}{2}ight) = -\cos x$.

$$4\cos^3 x - 3\cos x = 0$$

Вынесем общий множитель:

$$\cos x(4\cos^2 x - 3) = 0$$

Получаем совокупность:

$$\cos x = 0 \quad 	ext{или} \quad \cos^2 x = \frac{3}{4}$$

Из первого уравнения:

$$x = \frac{\pi}{2} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$$

Из второго уравнения:

$$\cos x = \pm\frac{\sqrt{3}}{2}$$

Это дает:

$$x = \pm\frac{\pi}{6} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$$

$$x = \pm\frac{5\pi}{6} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$$

**б) Отбор корней на отрезке $\left[-2\pi; -\piight]$**

Используя тригонометрическую окружность, выбираем корни, попадающие в указанный промежуток:

Из семейства $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$: при $k = -3$ получаем $x = -\frac{3\pi}{2}$.

Из семейства $x = \frac{\pi}{6} + 2\pi n$: при $n = -1$ получаем $x = -\frac{11\pi}{6}$.

Из семейства $x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi n$: при $n = 0$ получаем $x = -\frac{\pi}{6}$ (не входит в отрезок).

Из семейства $x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi n$: при $n = -1$ получаем $x = -\frac{7\pi}{6}$.

Из семейства $x = -\frac{5\pi}{6} + 2\pi n$: при $n = 0$ получаем $x = -\frac{5\pi}{6}$ (не входит в отрезок).

Задание №13УравненияЕГЭ по математике