Question

Дан прямоугольник $ABCD$. Известно, что $CD = 3AD$. Точка $M$ — середина стороны $AD$. На стороне $CD$ отмечена точка $N$ такая, что $CN = 2ND$. Точка $K$ — середина отрезка $CM$.

а) Докажите, что точки $B$, $N$ и $K$ лежат на одной прямой.

б) Найдите $KN$, если $AD = 4$.

Accepted Answer

Answer

Идея решения: продлить прямую $BN$ до пересечения с продолжением $AD$, использовать подобие треугольников для определения положения точки пересечения, а затем доказать совпадение с точкой $K$ через равенство треугольников.

**а) Доказательство**

Обозначим $AD = 2x$. Тогда $CD = 6x$ по условию.

Из определений середины и точки деления:
$$AM = MD = x, \quad DN = 2x, \quad CN = 4x$$

Продлим $BN$ до пересечения с прямой $AD$ в точке $S$.

Рассмотрим треугольники $	riangle DNS$ и $	riangle CNB$:
- $\angle DSN = \angle NBC$ (вертикальные углы);
- $\angle SDN = \angle BCN = 90°$.

Следовательно, $	riangle DNS \sim 	riangle CNB$.

Из подобия:
$$\frac{DN}{CN} = \frac{DS}{CB}$$

$$\frac{2x}{4x} = \frac{DS}{2x} \Rightarrow DS = x$$

Пусть прямая $BS$ пересекает отрезок $MC$ в точке $K_1$.

Рассмотрим треугольники $	riangle MK_1S$ и $	riangle K_1BC$:
- $MS = BC = 2x$;
- $\angle MSK_1 = \angle BK_1C$ (вертикальные углы);
- $\angle SMK_1 = \angle K_1CB$ (накрест лежащие при параллельных $MS$ и $BC$).

Таким образом, $	riangle MK_1S = 	riangle K_1BC$ (по стороне и двум углам).

Из равенства треугольников: $MK_1 = K_1C$, то есть $K_1$ — середина $MC$.

Поскольку $K$ — середина $MC$ по условию, точки $K$ и $K_1$ совпадают. Следовательно, $B$, $N$ и $K$ лежат на одной прямой. ✓

**б) Вычисление $KN$**

При $AD = 4$ имеем $CD = 12$, $ND = 4$, $CN = 8$.

Из подобия $	riangle DNS \sim 	riangle CNB$:
$$\frac{NS}{NB} = \frac{DN}{CN} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$$

Обозначим $NS = 2y$, тогда $NB = 4y$.

Из равенства $	riangle MKS = 	riangle KBC$ получаем $SK = KB = 3y$.

Следовательно:
$$NK = SK - SN = 3y - 2y = y$$

Найдём $y$ из треугольника $ABS$. Заметим, что $AS = AD + DS = 4 + 2 = 6$.

По теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике $ABS$:
$$BS^2 = AB^2 + AS^2 = 12^2 + 6^2 = 144 + 36 = 180$$

$$BS = 6\sqrt{5}$$

Так как $NK = \frac{1}{6}BS$:
$$NK = \frac{1}{6} \cdot 6\sqrt{5} = \sqrt{5}$$

Задание №17ПланиметрияЕГЭ по математике