Question

Найдите наибольшее значение функции $y = x^3 - 6x^2 + 9x + 5$ на отрезке $[0; 3]$.

Accepted Answer

9

Answer

Идея решения: найти критические точки через производную, определить характер монотонности на отрезке и вычислить значение в точке максимума.

Вычислим производную:
$$y' = 3x^2 - 12x + 9$$

Приравняем её к нулю:
$$3x^2 - 12x + 9 = 0$$

Разделим на 3:
$$x^2 - 4x + 3 = 0$$

Получаем корни:
$$x = 1; \quad x = 3$$

Применим метод интервалов для определения знака производной:
- На $(0; 1)$: $y' > 0$ — функция возрастает
- На $(1; 3)$: $y' < 0$ — функция убывает

Следовательно, $x = 1$ — точка локального максимума на отрезке.

Вычислим значение функции в этой точке:
$$y(1) = 1^3 - 6 \cdot 1^2 + 9 \cdot 1 + 5 = 1 - 6 + 9 + 5 = 9$$

Задание №12Функции, графики и производнаяЕГЭ по математике