Question

Для получения увеличенного изображения лампочки используется собирающая линза с главным фокусным расстоянием $f = 36$ см. Расстояние от линзы до лампочки может варьироваться в пределах от 30 до 50 см, а расстояние от линзы до экрана — в пределах от 160 до 180 см. Четкое изображение на экране возникает при условии:

$\frac{1}{d_1} + \frac{1}{d_2} = \frac{1}{f}$

Найдите наименьшее расстояние от линзы до лампочки, при котором изображение будет четким. Ответ выразите в сантиметрах.

$$\frac{1}{d_1} + \frac{1}{d_2} = \frac{1}{f}$$

Найдите наименьшее расстояние от линзы до лампочки, при котором изображение будет четким. Ответ выразите в сантиметрах.

Accepted Answer

45

Answer

Идея решения: поскольку сумма обратных расстояний постоянна, минимальное расстояние до предмета достигается при максимальном расстоянии до экрана.

Из условия линзы следует, что $\frac{1}{d_1} + \frac{1}{d_2} = \frac{1}{f}$ — величина постоянная.

Это означает: при уменьшении $d_1$ величина $d_2$ возрастает. Следовательно, $d_{1\min}$ реализуется при $d_{2\max}$.

По условию $d_2 \in [160; 180]$, поэтому $d_{2\max} = 180$ см.

Подставим в формулу линзы:

$$\frac{1}{d_{1\min}} + \frac{1}{180} = \frac{1}{36}$$

$$\frac{1}{d_{1\min}} = \frac{1}{36} - \frac{1}{180}$$

Приведем к общему знаменателю:

$$\frac{1}{d_{1\min}} = \frac{5}{180} - \frac{1}{180} = \frac{4}{180} = \frac{1}{45}$$

$$d_{1\min} = 45$$

Задание №9Числа, выражения и тождественные преобразованияЕГЭ по математике