Question

Найдите наименьшее значение функции $y = 18x^2 - x^3 + 19$ на отрезке $[-7; 10]$.

Accepted Answer

19

Answer

Идея решения: найти критические точки через производную, определить характер монотонности на заданном отрезке и вычислить значение функции в точке минимума. Вычислим производную: $$y' = 36x - 3x^2$$ Приравняем её к нулю: $$36x - 3x^2 = 0$$ $$3x(12 - x) = 0$$ $$x = 0 ext{ или } x = 12$$ Исследуем знак производной на интервалах: - При $x < 0$: $y' < 0$ (функция убывает) - При $0 < x < 12$: $y' > 0$ (функция возрастает) - При $x > 12$: $y' < 0$ (функция убывает) Таким образом, $x = 0$ — точка локального минимума, $x = 12$ — точка локального максимума. На отрезке $[-7; 10]$ функция убывает на $[-7; 0]$ и возрастает на $[0; 10]$. Следовательно, наименьшее значение достигается в точке $x = 0$: $$y(0) = 18 \cdot 0^2 - 0^3 + 19 = 19$$

Задание №12Функции, графики и производнаяЕГЭ по математике