Question

Решите неравенство:

$$\frac{0{,}2^{x}-125}{4^{x}-2^{x+2{,}5}+8}\leq0$$

Accepted Answer

Answer

Идея решения: найти область определения, упростить числитель и знаменатель через степени одного основания, затем решить полученное неравенство.

**Область определения:**

Знаменатель не должен обращаться в нуль:

$$4^{x}-2^{x+2{,}5}+8
eq0$$

Преобразуем, используя свойства степеней:

$$2^{2x}-2^{x}\cdot 2^{2{,}5}+8
eq0$$

$$2^{2x}-2^{x}\cdot 2\sqrt{8}+8
eq0$$

$$2^{2x}-2^{x}\cdot 4\sqrt{2}+8
eq0$$

Заметим, что это полный квадрат:

$$\left(2^{x}-2\sqrt{2}ight)^{2}
eq0$$

$$2^{x}
eq 2\sqrt{2}$$

$$2^{x}
eq 2^{3/2}$$

$$x
eq\frac{3}{2}$$

**Решение неравенства:**

Дробь неположительна, когда числитель и знаменатель имеют противоположные знаки или числитель равен нулю. Поскольку знаменатель всегда положителен (полный квадрат), требуется:

$$0{,}2^{x}-125\leq0$$

Представим через степени пятёрки:

$$\left(\frac{1}{5}ight)^{x}-125\leq0$$

$$5^{-x}-5^{3}\leq0$$

$$5^{-x}\leq 5^{3}$$

Функция $5^{t}$ возрастает, поэтому:

$$-x\leq 3$$

$$x\geq -3$$

**Объединение с ограничением:**

Решение: $x \in [-3; \frac{3}{2}) \cup (\frac{3}{2}; +\infty)$.

Задание №15НеравенстваЕГЭ по математике