Question

Найдите все значения $a$, при каждом из которых система уравнений

$$\left\{ \begin{array}{c} \log_{11}(a - y^2) = \log_{11}(a - x^2) \ x^2 + y^2 = 2x + 6y \end{array} ight.$$

имеет ровно два различных решения.

Accepted Answer

Answer

Идея решения: из первого уравнения получаем два случая ($y = x$ или $y = -x$), каждый подставляем во второе уравнение (окружность), а затем требуем, чтобы ровно две точки пересечения удовлетворяли условию $x^2 < a$. **Шаг 1. Анализ первого уравнения** Из равенства логарифмов: $$a - y^2 = a - x^2$$ $$x^2 = y^2$$ $$(x - y)(x + y) = 0$$ Получаем два случая: $y = x$ или $y = -x$. **Шаг 2. Преобразование второго уравнения** Приведём второе уравнение к стандартному виду окружности: $$x^2 + y^2 = 2x + 6y$$ $$x^2 - 2x + y^2 - 6y = 0$$ $$x^2 - 2x + 1 + y^2 - 6y + 9 = 10$$ $$(x - 1)^2 + (y - 3)^2 = 10$$ Это окружность с центром $(1; 3)$ и радиусом $\sqrt{10}$. **Шаг 3. Случай $y = x$** Подставляем в уравнение окружности: $$(x - 1)^2 + (x - 3)^2 = 10$$ $$x^2 - 2x + 1 + x^2 - 6x + 9 = 10$$ $$2x^2 - 8x = 0$$ $$2x(x - 4) = 0$$ $$x = 0 ext{ или } x = 4$$ Получаем точки $(0; 0)$ и $(4; 4)$. **Шаг 4. Случай $y = -x$** Подставляем в уравнение окружности: $$(x - 1)^2 + (-x - 3)^2 = 10$$ $$x^2 - 2x + 1 + x^2 + 6x + 9 = 10$$ $$2x^2 + 4x = 0$$ $$2x(x + 2) = 0$$ $$x = 0 ext{ или } x = -2$$ Получаем точки $(0; 0)$ и $(-2; 2)$. **Шаг 5. Определение условия на $a$** Все три различные точки: $(0; 0)$, $(4; 4)$, $(-2; 2)$. Для каждой точки требуется $x^2 < a$: - $(0; 0)$: $0 < a$ (всегда выполнено при $a > 0$) - $(4; 4)$: $16 < a$, то есть $a > 16$ - $(-2; 2)$: $4 < a$, то есть $a > 4$ Чтобы система имела ровно два решения, нужно исключить ровно одну точку. Это происходит при $4 < a \leq 16$: тогда точка $(4; 4)$ исключается, остаются $(0; 0)$ и $(-2; 2)$.

Задание №18Параметры и теория чиселЕГЭ по математике