Question

Дан тетраэдр $ABCD$. Точки $K, L, M, N$ лежат на рёбрах $AC, AD, DB$ и $BC$ соответственно, так, что четырёхугольник $KLMN$ — квадрат со стороной 2, и $AK:KC = 2:3$.

а) Докажите, что $BM:MD = 2:3$.

б) Найдите расстояние от точки $C$ до плоскости $KLMN$, если объём тетраэдра $ABCD$ равен 25.

Accepted Answer

Answer

Идея решения: использовать параллельность сторон квадрата для установления параллельности рёбер тетраэдра, а затем применить теорему Фалеса и формулу объёма для вычисления расстояния.

**а) Доказательство**

Поскольку $KLMN$ — квадрат, стороны $KN$ и $LM$ параллельны. Следовательно, прямая $LM$ параллельна плоскости $ABC$.

Прямые $LM$ и $AB$ лежат в плоскости $ADB$ и не пересекаются, поэтому они параллельны. Таким образом, все три прямые $KN$, $LM$ и $AB$ параллельны между собой.

Аналогично, стороны $KL$ и $MN$ квадрата параллельны, откуда следует, что прямые $KL$, $MN$ и $CD$ параллельны.

Применим теорему Фалеса к треугольнику $ACB$ (прямая $KN$ параллельна $AB$):

$$\frac{AK}{KC} = \frac{BN}{NC}$$

Применим теорему Фалеса к треугольнику $CBD$ (прямая $LM$ параллельна $CD$):

$$\frac{BM}{MD} = \frac{BN}{NC}$$

Следовательно:

$$\frac{BM}{MD} = \frac{BN}{NC} = \frac{AK}{KC} = \frac{2}{3}$$

**б) Нахождение расстояния**

Расстояние от точки $C$ до плоскости $KLMN$ равно высоте тетраэдра $CKLMN$, опущенной из вершины $C$ на основание $KLMN$.

Площадь треугольника $KMN$ (прямоугольного, так как $KLMN$ — квадрат):

$$S_{KMN} = \frac{1}{2} \cdot KN \cdot NM = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 2 = 2$$

Расстояние вычисляется по формуле:

$$d(C, KLMN) = \frac{3V_{CKLMN}}{S_{KMN}}$$

Выразим объём тетраэдра $CKLMN$ через объём исходного тетраэдра. Пусть $DH$ — высота тетраэдра $DABC$ из вершины $D$, а $MH_1$ — высота тетраэдра $MKCN$ из вершины $M$.

Высота $MH_1$ составляет $\frac{2}{5}$ от высоты $DH$ (так как $BM:MD = 2:3$, точка $M$ делит $DB$ в отношении $2:3$ от $B$).

Площадь треугольника $CKN$ составляет $\frac{9}{25}$ от площади треугольника $ABC$ (так как $AK:KC = 2:3$, имеем $KC:AC = 3:5$ и $NC:BC = 3:5$).

Следовательно:

$$V_{CKLMN} = \frac{1}{3} \cdot MH_1 \cdot S_{CKN} = \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{5}DH \cdot \frac{9}{25}S_{ABC} = \frac{2}{5} \cdot \frac{9}{25} \cdot V_{DABC} = \frac{2}{5} \cdot \frac{9}{25} \cdot 25 = \frac{18}{5}$$

Подставляем найденные значения:

$$d(C, KLMN) = \frac{3 \cdot \frac{18}{5}}{2} = \frac{54}{10} = 5{,}4$$

Задание №14СтереометрияЕГЭ по математике