Question

а) Решите уравнение $\cos 2x + \sqrt{2}\cos\left(x + \pi\right) + 1 = 0$.

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[-4\pi; -\frac{5\pi}{2}\right]$.

Accepted Answer

Answer

Идея решения: упростить уравнение, используя формулы косинуса двойного угла и приведения, затем разложить на множители.

**а) Решение уравнения**

Применим формулу приведения $\cos(x + \pi) = -\cos x$:

$$\cos 2x - \sqrt{2}\cos x + 1 = 0$$

Подставим $\cos 2x = 2\cos^2 x - 1$:

$$2\cos^2 x - 1 - \sqrt{2}\cos x + 1 = 0$$

$$2\cos^2 x - \sqrt{2}\cos x = 0$$

$$\cos x(2\cos x - \sqrt{2}) = 0$$

Отсюда получаем два случая:

**Случай 1:** $\cos x = 0$

$$x = \frac{\pi}{2} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$$

**Случай 2:** $2\cos x = \sqrt{2}$

$$\cos x = \frac{\sqrt{2}}{2}$$

$$x = \pm\frac{\pi}{4} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$$

**б) Отбор корней на отрезке**

Найдём значения из первого семейства на $\left[-4\pi; -\frac{5\pi}{2}\right]$:

При $n = -2$: $x = \frac{\pi}{2} - 2\pi = -\frac{3\pi}{2}$ — не входит в отрезок.

При $n = -3$: $x = \frac{\pi}{2} - 3\pi = -\frac{5\pi}{2}$ — входит.

При $n = -4$: $x = \frac{\pi}{2} - 4\pi = -\frac{7\pi}{2}$ — входит.

При $n = -5$: $x = \frac{\pi}{2} - 5\pi = -\frac{9\pi}{2}$ — не входит в отрезок.

Найдём значения из второго семейства на $\left[-4\pi; -\frac{5\pi}{2}\right]$:

При $n = -2$, знак $+$: $x = \frac{\pi}{4} - 4\pi = -\frac{15\pi}{4}$ — входит.

При $n = -2$, знак $-$: $x = -\frac{\pi}{4} - 4\pi = -\frac{17\pi}{4}$ — не входит в отрезок.

При $n = -1$, знак $+$: $x = \frac{\pi}{4} - 2\pi = -\frac{7\pi}{4}$ — не входит в отрезок.

При $n = -1$, знак $-$: $x = -\frac{\pi}{4} - 2\pi = -\frac{9\pi}{4}$ — не входит в отрезок.

Задание №13УравненияЕГЭ по математике