Question

Найдите все значения $a$, при каждом из которых уравнение
$$\sqrt{4x-1}\cdot\ln\left(x^{2}-2x+2-a^{2}\right)=0$$
имеет ровно один корень на отрезке $[0;1]$.

Accepted Answer

Answer

Идея решения: произведение равно нулю, когда хотя бы один множитель обращается в нуль; нужно найти все корни каждого множителя, проверить их принадлежность отрезку и условия на параметр, затем исключить случаи совпадения корней.

Уравнение равносильно системе:
$$\left\{\begin{array}{l}
\left[\begin{array}{l}
4x-1=0 \
\ln(x^{2}-2x+2-a^{2})=0
\end{array}ight. \
x^{2}-2x+2-a^{2}>0 \
4x-1\geq 0
\end{array}ight.$$

**Из первого условия:**
$$x_{1}=\frac{1}{4}$$

**Из второго условия:**
$$x^{2}-2x+2-a^{2}=1$$
$$x^{2}-2x+1=a^{2}$$
$$(x-1)^{2}=a^{2}$$
$$x=1\pm a$$

Обозначим $x_{2}=1+a$ и $x_{3}=1-a$.

Условие $4x-1\geq 0$: $4\cdot\frac{1}{4}-1=0\geq 0$ — выполнено.

Условие $x^{2}-2x+2-a^{2}>0$:
$$\frac{1}{16}-\frac{1}{2}+2-a^{2}>0$$
$$\frac{25}{16}-a^{2}>0$$
$$a^{2}<\frac{25}{16}$$
$$a\in\left(-\frac{5}{4};\frac{5}{4}ight)$$

Корень $x_{1}=\frac{1}{4}$ принадлежит $[0;1]$ при $a\in\left(-\frac{5}{4};\frac{5}{4}ight)$.

Условие $0\leq 1+a\leq 1$: $-1\leq a\leq 0$.

Условие $4(1+a)-1\geq 0$: $a\geq -\frac{3}{4}$.

Условие $(1+a)^{2}-2(1+a)+2-a^{2}>0$:
$$1+2a+a^{2}-2-2a+2-a^{2}>0$$
$$1>0$$ — верно для всех $a$.

Корень $x_{2}=1+a$ принадлежит $[0;1]$ при $a\in\left[-\frac{3}{4};0ight]$.

Условие $0\leq 1-a\leq 1$: $0\leq a\leq 1$.

Условие $4(1-a)-1\geq 0$: $a\leq\frac{3}{4}$.

Условие $(1-a)^{2}-2(1-a)+2-a^{2}>0$:
$$1-2a+a^{2}-2+2a+2-a^{2}>0$$
$$1>0$$ — верно для всех $a$.

Корень $x_{3}=1-a$ принадлежит $[0;1]$ при $a\in\left[0;\frac{3}{4}ight]$.

**Анализ совпадений корней:**

1) $x_{1}=x_{2}$: $\frac{1}{4}=1+a \Rightarrow a=-\frac{3}{4}$

2) $x_{1}=x_{3}$: $\frac{1}{4}=1-a \Rightarrow a=\frac{3}{4}$

3) $x_{2}=x_{3}$: $1+a=1-a \Rightarrow a=0$

**Подсчёт корней:**

- При $a\in\left(-\frac{5}{4};-\frac{3}{4}ight)$: только $x_{1}$ — **1 корень** ✓
- При $a=-\frac{3}{4}$: $x_{1}=x_{2}=\frac{1}{4}$ — **1 корень** ✓
- При $a\in\left(-\frac{3}{4};0ight)$: $x_{1}$ и $x_{2}$ — **2 корня**
- При $a=0$: $x_{1}$, $x_{2}=x_{3}=1$ — **2 корня**
- При $a\in\left(0;\frac{3}{4}ight)$: $x_{1}$ и $x_{3}$ — **2 корня**
- При $a=\frac{3}{4}$: $x_{1}=x_{3}=\frac{1}{4}$ — **1 корень** ✓
- При $a\in\left(\frac{3}{4};\frac{5}{4}ight)$: только $x_{1}$ — **1 корень** ✓

Задание №18Параметры и теория чиселЕГЭ по математике