Question

Найдите все значения $a$, при каждом из которых уравнение
$$a^2 + ax - 2x^2 - 6a - 3x + 9|x| = 0$$
имеет меньше четырёх различных корней.

Accepted Answer

Answer

Идея решения: раскроем модуль, разделив на случаи $x \leq 0$ и $x > 0$, найдём зависимости $a$ от $x$ для каждого случая, а затем определим значения параметра, при которых общее число корней не достигает четырёх. Раскроем модуль по знаку $x$: $$\left[ \begin{array}{l} \begin{cases} x \leq 0 \ a^2 + ax - 2x^2 - 6a - 3x - 9x = 0 \end{cases} \ \begin{cases} x > 0 \ a^2 + ax - 2x^2 - 6a - 3x + 9x = 0 \end{cases} \end{array} ight.$$ Упростим: $$\left[ \begin{array}{l} \begin{cases} x \leq 0 \ a^2 + ax - 2x^2 - 6a - 12x = 0 \end{cases} \quad (1) \ \begin{cases} x > 0 \ a^2 + ax - 2x^2 - 6a + 6x = 0 \end{cases} \quad (2) \end{array} ight.$$ **Случай (1):** $x \leq 0$ Рассмотрим уравнение как квадратное относительно $a$: $$a^2 + (x - 6)a - 12x - 2x^2 = 0$$ Вычислим дискриминант: $$D = (x - 6)^2 - 4(-12x - 2x^2) = x^2 - 12x + 36 + 48x + 8x^2 = 9x^2 + 36x + 36 = (3x + 6)^2$$ Корни: $$a_1 = \frac{6 - x + 3x + 6}{2} = 6 + x$$ $$a_2 = \frac{6 - x - 3x - 6}{2} = -2x$$ **Случай (2):** $x > 0$ Рассмотрим уравнение как квадратное относительно $a$: $$a^2 + (x - 6)a + 6x - 2x^2 = 0$$ Вычислим дискриминант: $$D = (x - 6)^2 - 4(6x - 2x^2) = x^2 - 12x + 36 - 24x + 8x^2 = 9x^2 - 36x + 36 = (3x - 6)^2$$ Корни: $$a_1 = \frac{6 - x + 3x - 6}{2} = x$$ $$a_2 = \frac{6 - x - 3x + 6}{2} = 6 - 2x$$ Итак, исходное уравнение равносильно совокупности: $$\left[ \begin{array}{l} \begin{cases} x \leq 0 \ a = 6 + x ext{ или } a = -2x \end{cases} \ \begin{cases} x > 0 \ a = x ext{ или } a = 6 - 2x \end{cases} \end{array} ight.$$ Геометрически в плоскости $(x, a)$ решение представляет четыре луча: - $a = 6 + x$ при $x \leq 0$ - $a = -2x$ при $x \leq 0$ - $a = x$ при $x > 0$ - $a = 6 - 2x$ при $x > 0$ Для фиксированного значения $a$ число корней исходного уравнения равно числу пересечений горизонтальной прямой $a = ext{const}$ с этими четырьмя лучами. Анализируя график (см. изображение): - При $a < 1$ прямая пересекает только луч $a = 6 + x$ — 1 корень. - При $a = 1$ прямая проходит через точку пересечения лучей $a = 6 + x$ и $a = -2x$ — 1 корень. - При $1 < a < 2$ прямая пересекает лучи $a = 6 + x$ и $a = -2x$ — 2 корня. - При $a = 2$ прямая проходит через точку пересечения лучей $a = -2x$ и $a = 6 - 2x$ — 2 корня. - При $2 < a < 3$ прямая пересекает лучи $a = -2x$, $a = x$ и $a = 6 - 2x$ — 3 корня. - При $a = 3$ прямая проходит через точку пересечения лучей $a = -2x$ и $a = x$ — 3 корня. - При $3 < a < 4$ прямая пересекает все четыре луча — 4 корня. - При $a = 4$ прямая проходит через точку пересечения лучей $a = 6 + x$ и $a = x$ — 3 корня. - При $a > 4$ прямая пересекает лучи $a = x$ и $a = 6 - 2x$ — 2 корня. Уравнение имеет меньше четырёх корней при $a \leq 3$ или $a \geq 4$.

Задание №18Параметры и теория чиселЕГЭ по математике