Question

а) Решите уравнение $\log_{5}(\cos x + \sin 2x + 25) = 2$.

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку $\left[2\pi; \frac{7\pi}{2}\right]$.

Accepted Answer

Answer

Идея решения: преобразовать логарифмическое уравнение в алгебраическое, разложить на множители и найти все решения тригонометрических уравнений. **а) Решение основного уравнения** Заметим, что выражение $\cos x + \sin 2x + 25$ всегда положительно при любом $x \in \mathbb{R}$. Применим определение логарифма: $$\cos x + \sin 2x + 25 = 5^2$$ $$\cos x + \sin 2x + 25 = 25$$ $$\cos x + \sin 2x = 0$$ Используя формулу $\sin 2x = 2\sin x \cos x$: $$\cos x + 2\sin x \cos x = 0$$ Вынесем общий множитель: $$\cos x(1 + 2\sin x) = 0$$ Отсюда получаем два случая: **Случай 1:** $\cos x = 0$ $$x = \frac{\pi}{2} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$$ **Случай 2:** $1 + 2\sin x = 0$ $$\sin x = -\frac{1}{2}$$ $$x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$$ или $$x = \frac{7\pi}{6} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$$ **б) Отбор корней на промежутке $\left[2\pi; \frac{7\pi}{2}\right]$** Из семейства $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$: - При $n = 4$: $x = \frac{\pi}{2} + 4\pi = \frac{9\pi}{2} > \frac{7\pi}{2}$ — не подходит. - При $n = 5$: $x = \frac{\pi}{2} + 5\pi = \frac{11\pi}{2} > \frac{7\pi}{2}$ — не подходит. - При $n = 3$: $x = \frac{\pi}{2} + 3\pi = \frac{7\pi}{2}$ — подходит. - При $n = 2$: $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi = \frac{5\pi}{2}$ — подходит. Из семейства $x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi n$: - При $n = 1$: $x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi = \frac{11\pi}{6} < 2\pi$ — не подходит. - При $n = 2$: $x = -\frac{\pi}{6} + 4\pi = \frac{23\pi}{6} > \frac{7\pi}{2}$ — не подходит. Из семейства $x = \frac{7\pi}{6} + 2\pi n$: - При $n = 0$: $x = \frac{7\pi}{6} < 2\pi$ — не подходит. - При $n = 1$: $x = \frac{7\pi}{6} + 2\pi = \frac{19\pi}{6}$ — проверим: $\frac{19\pi}{6} \approx 3{,}17\pi$, а $\frac{7\pi}{2} = 3{,}5\pi$, значит подходит. ![Рисунок](https://afb4a530-22b8-416e-b47b-cdbbbe63bf2f.selstorage.ru/files/kbxIw8dka7nmOACxBjlEHu6QCzIXIv3N6BXcy3l2.png)

Задание №13УравненияЕГЭ по математике