Question

Найдите $	an\alpha$, если известно, что $\cos\alpha = -\frac{\sqrt{26}}{26}$ и $\alpha \in \left(\frac{\pi}{2}; \piight)$.

Accepted Answer

-5

Answer

Идея решения: используем основное тригонометрическое тождество для нахождения синуса, затем определяем его знак по четверти и вычисляем тангенс.

Из основного тригонометрического тождества:

$$\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$$

$$\sin^2\alpha = 1 - \cos^2\alpha$$

$$\sin\alpha = \pm\sqrt{1 - \cos^2\alpha} = \pm\sqrt{1 - \left(-\frac{\sqrt{26}}{26}ight)^2}$$

$$\sin\alpha = \pm\sqrt{1 - \frac{26}{676}} = \pm\sqrt{\frac{650}{676}} = \pm\frac{5\sqrt{26}}{26}$$

Поскольку $\alpha \in \left(\frac{\pi}{2}; \piight)$ (вторая четверть), синус положителен:

$$\sin\alpha = \frac{5\sqrt{26}}{26}$$

Найдём тангенс:

$$	an\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \frac{5\sqrt{26}}{26} : \left(-\frac{\sqrt{26}}{26}ight) = \frac{5\sqrt{26}}{26} \cdot \left(-\frac{26}{\sqrt{26}}ight) = -5$$

Задание №7Числа, выражения и тождественные преобразованияЕГЭ по математике