Question

Определите все значения параметра $a$, при которых уравнение $\sin 3x + a \sin x = 0$ не имеет решений на промежутке $\left(0; \frac{\pi}{4}\right)$.

Accepted Answer

Answer

Идея решения: применить формулу тройного угла, разложить на множители и найти условие на параметр, при котором уравнение не имеет корней в заданном интервале.

Используем формулу $\sin 3x = 3\sin x - 4\sin^3 x$:

$$3\sin x - 4\sin^3 x + a\sin x = 0$$

Вынесем $\sin x$ за скобки:

$$\sin x(3 + a - 4\sin^2 x) = 0$$

Отсюда либо $\sin x = 0$, либо $3 + a - 4\sin^2 x = 0$.

Из условия $\sin x = 0$ получаем $x = \pi n$, что не принадлежит интервалу $\left(0; \frac{\pi}{4}ight)$.

Рассмотрим второе условие:

$$\sin^2 x = \frac{3 + a}{4}$$

Для $x \in \left(0; \frac{\pi}{4}ight)$ имеем $\sin x \in \left(0; \sin\frac{\pi}{4}ight) = \left(0; \frac{\sqrt{2}}{2}ight)$.

Следовательно:

$$\sin^2 x \in \left(0; \frac{1}{2}ight)$$

Уравнение не имеет решений на данном интервале, если значение $\frac{3 + a}{4}$ не попадает в промежуток $\left(0; \frac{1}{2}ight)$:

$$\frac{3 + a}{4} \leq 0 \quad 	ext{или} \quad \frac{3 + a}{4} \geq \frac{1}{2}$$

Из первого неравенства: $3 + a \leq 0$, откуда $a \leq -3$.

Из второго неравенства: $3 + a \geq 2$, откуда $a \geq -1$.

Задание №18Параметры и теория чиселЕГЭ по математике