Question

а) Решите уравнение $2\cos^3 x = \sqrt{3}\sin^2 x + 2\cos x$.

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[-3\pi; -\frac{5\pi}{2}\right]$.

Accepted Answer

Answer

Идея решения: перенести все слагаемые в левую часть, применить основное тригонометрическое тождество и разложить на множители.

**а) Решение уравнения**

Перенесём все члены в левую часть:

$$2\cos^3 x - 2\cos x - \sqrt{3}\sin^2 x = 0$$

Вынесем $2\cos x$ из первых двух слагаемых и заменим $\sin^2 x = 1 - \cos^2 x$:

$$2\cos x(\cos^2 x - 1) - \sqrt{3}(1 - \cos^2 x) = 0$$

Заметим, что $\cos^2 x - 1 = -(1 - \cos^2 x)$, поэтому:

$$-2\cos x(1 - \cos^2 x) - \sqrt{3}(1 - \cos^2 x) = 0$$

Вынесем общий множитель:

$$(1 - \cos^2 x)(-2\cos x - \sqrt{3}) = 0$$

Или эквивалентно:

$$(\cos^2 x - 1)(2\cos x + \sqrt{3}) = 0$$

Получаем два случая.

**Случай 1:** $2\cos x + \sqrt{3} = 0$

$$\cos x = -\frac{\sqrt{3}}{2}$$

$$x = \pm\frac{5\pi}{6} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$$

**Случай 2:** $\cos^2 x - 1 = 0$

$$\cos x = \pm 1$$

$$x = \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$$

**б) Отбор корней на отрезке $\left[-3\pi; -\frac{5\pi}{2}\right]$**

Проверим серию $x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi k$:

$$-3\pi \leq \frac{5\pi}{6} + 2\pi k \leq -\frac{5\pi}{2}$$

Разделим на $\pi$ и умножим на 6:

$$-18 \leq 5 + 12k \leq -15$$

$$-23 \leq 12k \leq -20$$

Целых значений $k$ нет.

Проверим серию $x = -\frac{5\pi}{6} + 2\pi h$:

$$-3\pi \leq -\frac{5\pi}{6} + 2\pi h \leq -\frac{5\pi}{2}$$

Разделим на $\pi$ и умножим на 6:

$$-18 \leq -5 + 12h \leq -15$$

$$-13 \leq 12h \leq -10$$

При $h = -1$: $x = -\frac{5\pi}{6} - 2\pi = -\frac{17\pi}{6}$.

Проверим серию $x = \pi n$:

$$-3\pi \leq \pi n \leq -\frac{5\pi}{2}$$

Разделим на $\pi$:

$$-3 \leq n \leq -\frac{5}{2}$$

При $n = -3$: $x = -3\pi$.

Задание №13УравненияЕГЭ по математике