Question

Решите неравенство:

$$x^2 \log_{243}(4-x) \leq \log_3(x^2 - 8x + 16)$$

Accepted Answer

Answer

Идея решения: преобразовать основания логарифмов к единому основанию, упростить выражение под логарифмом и применить метод рационализации. Заметим, что $243 = 3^5$, поэтому: $$x^2 \log_{3^5}(4-x) \leq \log_3(x^2 - 8x + 16)$$ Преобразуем правую часть. Выражение под логарифмом — полный квадрат: $$x^2 \log_{3^5}(4-x) \leq \log_3(x-4)^2$$ $$x^2 \log_{3^5}(4-x) \leq 2\log_3|x-4|$$ Поскольку $|x-4| = 4-x$ (это будет уточнено через ограничения), получаем: $$x^2 \log_{3^5}(4-x) \leq 2\log_3(4-x)$$ Используя свойство логарифма $\log_{a^n}b = \frac{1}{n}\log_a b$: $$\frac{x^2}{5}\log_3(4-x) \leq 2\log_3(4-x)$$ Перенесём всё в левую часть: $$\frac{x^2}{5}\log_3(4-x) - 2\log_3(4-x) \leq 0$$ $$\log_3(4-x)\left(\frac{x^2}{5} - 2 ight) \leq 0$$ Определим область допустимых значений: $$\begin{cases} 4-x > 0 \ x^2 - 8x + 16 > 0 \end{cases}$$ $$\begin{cases} 4-x > 0 \ (x-4)^2 > 0 \end{cases}$$ Второе условие даёт $x eq 4$. Первое — $x < 4$. Вместе: $x < 4$. Умножим второй множитель на 5: $$\log_3(4-x)(x^2 - 10) \leq 0$$ Разложим разность квадратов: $$\log_3(4-x)(x - \sqrt{10})(x + \sqrt{10}) \leq 0$$ Применим метод рационализации. Для множителя $\log_3(4-x)$ используем замену $(3-1)(4-x-1)$: $$(3-1)(4-x-1)(x - \sqrt{10})(x + \sqrt{10}) \leq 0$$ $$(3-x)(x - \sqrt{10})(x + \sqrt{10}) \leq 0$$ Решаем методом интервалов. Критические точки: $-\sqrt{10} \approx -3{,}16$, $3$, $\sqrt{10} \approx 3{,}16$. Знаки на интервалах: - $(-\infty, -\sqrt{10})$: $(+)(-)(-) = (+)$ - $(-\sqrt{10}, 3)$: $(+)(-)(+) = (-)$ - $(3, \sqrt{10})$: $(-)(-)( +) = (+)$ - $(\sqrt{10}, +\infty)$: $(-)(+)(+) = (-)$ Неравенство выполнено при: $$x \in [-\sqrt{10}, 3] \cup [\sqrt{10}, +\infty)$$ Пересекаем с ограничением $x < 4$: $$x \in [-\sqrt{10}, 3] \cup [\sqrt{10}, 4)$$

Задание №15НеравенстваЕГЭ по математике