Question

Найдите все значения $a$, при каждом из которых уравнение 
$$\frac{9x^{2}-a^{2}}{x^{2}+8x+16-a^{2}}=0$$
имеет ровно два различных корня.

Accepted Answer

Answer

Идея решения: дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю; нужно найти, при каких значениях параметра ровно два корня числителя не обращают знаменатель в нуль.

Решение дробного уравнения сводится к поиску корней числителя, удовлетворяющих условию ненулевости знаменателя.

Разложим числитель:
$$9x^{2}-a^{2}=(3x-a)(3x+a)$$

Уравнение $9x^{2}-a^{2}=0$ задаёт две прямые на плоскости $Oxa$:
- $l_1: a=3x$
- $l_2: a=-3x$

При $a=0$ это уравнение имеет один корень $x=0$; при $a 
eq 0$ — два корня.

Разложим знаменатель:
$$x^{2}+8x+16-a^{2}=(x+4)^2-a^{2}=(x+4-a)(x+4+a)$$

Уравнение $x^{2}+8x+16-a^{2}=0$ задаёт две прямые:
- $m_1: a=x+4$
- $m_2: a=-x-4$

Найдём точки пересечения этих прямых.

**Пересечение $l_1$ и $m_1$:**
$$\begin{cases} a=3x \ a=x+4 \end{cases} \Rightarrow 3x=x+4 \Rightarrow x=2, \quad a=6$$

Точка $(2; 6)$.

**Пересечение $l_1$ и $m_2$:**
$$\begin{cases} a=3x \ a=-x-4 \end{cases} \Rightarrow 3x=-x-4 \Rightarrow x=-1, \quad a=-3$$

Точка $(-1; -3)$.

**Пересечение $l_2$ и $m_1$:**
$$\begin{cases} a=-3x \ a=x+4 \end{cases} \Rightarrow -3x=x+4 \Rightarrow x=-1, \quad a=3$$

Точка $(-1; 3)$.

**Пересечение $l_2$ и $m_2$:**
$$\begin{cases} a=-3x \ a=-x-4 \end{cases} \Rightarrow -3x=-x-4 \Rightarrow x=2, \quad a=-6$$

Точка $(2; -6)$.

Условие $x^{2}+8x+16-a^{2}
eq 0$ нарушается при $a \in \{-6, -3, 3, 6\}$.

При $a=0$ числитель имеет один корень, поэтому исходное уравнение не имеет ровно двух корней.

При $a 
eq 0$ числитель имеет два корня. Оба корня являются решениями исходного уравнения тогда и только тогда, когда $a 
otin \{-6, -3, 3, 6\}$.

Таким образом, исходное уравнение имеет ровно два различных корня при:
$$a \in (-\infty; -6) \cup (-6; -3) \cup (-3; 0) \cup (0; 3) \cup (3; 6) \cup (6; +\infty)$$

или эквивалентно:
$$a \in \mathbb{R} \setminus \{-6, -3, 0, 3, 6\}$$

Задание №18Параметры и теория чиселЕГЭ по математике