Question

Теплоход преодолевает расстояние 425 км вниз по течению реки до конечного пункта, затем останавливается на 8 часов и возвращается обратно. Определите собственную скорость теплохода, если скорость течения составляет 4 км/ч и общее время в пути (включая стоянку) равно 50 часам. Ответ выразите в км/ч.

Accepted Answer

21

Answer

Идея решения: обозначить скорость теплохода переменной, выразить время в пути туда и обратно через эту переменную, составить уравнение на основе общего времени.

Обозначим скорость теплохода в неподвижной воде как $x$ км/ч.

При движении вниз по течению эффективная скорость равна $x + 4$ км/ч, при движении вверх — $x - 4$ км/ч.

Составим таблицу:

| Участок | Расстояние | Скорость | Время |
|---------|-----------|---------|-------|
| Туда (вниз) | 425 км | $x + 4$ | $\dfrac{425}{x+4}$ |
| Обратно (вверх) | 425 км | $x - 4$ | $\dfrac{425}{x-4}$ |

Общее время в пути складывается из времени движения туда, времени стоянки и времени движения обратно:

$$\frac{425}{x+4} + \frac{425}{x-4} + 8 = 50$$

Упростим:

$$\frac{425}{x+4} + \frac{425}{x-4} = 42$$

Приведём к общему знаменателю:

$$\frac{425(x-4) + 425(x+4)}{(x+4)(x-4)} = 42$$

$$\frac{425x - 1700 + 425x + 1700}{x^2 - 16} = 42$$

$$\frac{850x}{x^2 - 16} = 42$$

$$850x = 42(x^2 - 16)$$

$$850x = 42x^2 - 672$$

$$42x^2 - 850x - 672 = 0$$

Разделим на 2:

$$21x^2 - 425x - 336 = 0$$

Применим формулу корней квадратного уравнения:

$$x = \frac{425 \pm \sqrt{425^2 + 4 \cdot 21 \cdot 336}}{2 \cdot 21}$$

$$x = \frac{425 \pm \sqrt{180625 + 28224}}{42}$$

$$x = \frac{425 \pm \sqrt{208849}}{42}$$

$$x = \frac{425 \pm 457}{42}$$

Получаем два корня:

$$x_1 = \frac{425 + 457}{42} = \frac{882}{42} = 21$$

$$x_2 = \frac{425 - 457}{42} = \frac{-32}{42} < 0$$

Отрицательное значение не имеет физического смысла.

Задание №10Текстовые и прикладные задачиЕГЭ по математике