Question

Найдите наибольшее значение функции $y = \frac{x^2 + 25}{x}$ на отрезке $[-12; -1]$.

Accepted Answer

-10

Answer

Идея решения: найти критические точки через производную, определить характер монотонности на отрезке и вычислить значение в точке максимума. Вычислим производную: $$y' = \frac{2x \cdot x - (x^2 + 25) \cdot 1}{x^2} = \frac{x^2 - 25}{x^2}$$ Приравняем производную к нулю: $$\frac{x^2 - 25}{x^2} = 0 \Rightarrow x^2 - 25 = 0 \Rightarrow x = \pm 5$$ На отрезке $[-12; -1]$ из этих корней подходит только $x = -5$. Применим метод интервалов для анализа знака производной. На промежутке $[-12; -5]$ имеем $x^2 - 25 > 0$, поэтому $y' > 0$ — функция возрастает. На промежутке $[-5; -1]$ имеем $x^2 - 25 < 0$, поэтому $y' < 0$ — функция убывает. Следовательно, $x = -5$ — точка максимума функции на данном отрезке. Вычислим значение в этой точке: $$y(-5) = \frac{(-5)^2 + 25}{-5} = \frac{25 + 25}{-5} = \frac{50}{-5} = -10$$

Задание №12Функции, графики и производнаяЕГЭ по математике