Question

Моторная лодка преодолела 72 км против течения реки и вернулась в исходный пункт, потратив на обратный путь на 6 часов меньше времени. Определите скорость течения реки, если собственная скорость лодки составляет 9 км/ч. Ответ выразите в км/ч.

Accepted Answer

3

Answer

Идея решения: составить уравнение на основе разницы времён в пути против течения и по течению.

Обозначим скорость течения через $x$ км/ч. Заполним таблицу движения:

| Направление | Скорость, км/ч | Время, ч | Расстояние, км |
|---|---|---|---|
| По течению | $9 + x$ | $\frac{72}{9+x}$ | 72 |
| Против течения | $9 - x$ | $\frac{72}{9-x}$ | 72 |

По условию время в пути против течения на 6 часов больше, чем по течению:

$$\frac{72}{9-x} - \frac{72}{9+x} = 6$$

Приведём к общему знаменателю:

$$\frac{72(9+x) - 72(9-x)}{(9-x)(9+x)} = 6$$

$$\frac{72 \cdot 9 + 72x - 72 \cdot 9 + 72x}{81 - x^2} = 6$$

$$\frac{144x}{81 - x^2} = 6$$

$$144x = 6(81 - x^2)$$

$$144x = 486 - 6x^2$$

$$6x^2 + 144x - 486 = 0$$

$$x^2 + 24x - 81 = 0$$

По формуле корней квадратного уравнения:

$$x = \frac{-24 \pm \sqrt{576 + 324}}{2} = \frac{-24 \pm \sqrt{900}}{2} = \frac{-24 \pm 30}{2}$$

$$x_1 = \frac{-24 + 30}{2} = 3, \quad x_2 = \frac{-24 - 30}{2} = -27$$

Так как скорость течения положительна, $x = 3$ км/ч.

Задание №10Текстовые и прикладные задачиЕГЭ по математике