Question

а) Решите уравнение $2+2\cos\left( \pi-2x \right)+\sqrt{8}\sin x=\sqrt{6}+\sqrt{12}\sin x$.

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку $\left[ 3\pi;\frac{9\pi}{2} \right]$.

Accepted Answer

Answer

Идея решения: применить формулу приведения для косинуса, упростить уравнение до квадратного относительно синуса, найти его корни и отобрать те, что лежат в заданном интервале.

**а) Решение уравнения**

Используем формулу приведения $\cos(\pi - 2x) = -\cos 2x$:

$$2 - 2\cos 2x + \sqrt{8}\sin x = \sqrt{6} + \sqrt{12}\sin x$$

Применим формулу двойного угла $\cos 2x = 1 - 2\sin^2 x$:

$$2 - 2(1 - 2\sin^2 x) + \sqrt{8}\sin x = \sqrt{6} + \sqrt{12}\sin x$$

$$2 - 2 + 4\sin^2 x + \sqrt{8}\sin x = \sqrt{6} + \sqrt{12}\sin x$$

$$4\sin^2 x + \sqrt{8}\sin x - \sqrt{12}\sin x - \sqrt{6} = 0$$

Заметим, что $\sqrt{8} = 2\sqrt{2}$ и $\sqrt{12} = 2\sqrt{3}$:

$$4\sin^2 x + 2\sqrt{2}\sin x - 2\sqrt{3}\sin x - \sqrt{6} = 0$$

$$4\sin^2 x + 2(\sqrt{2} - \sqrt{3})\sin x - \sqrt{6} = 0$$

Обозначим $t = \sin x$:

$$4t^2 + 2(\sqrt{2} - \sqrt{3})t - \sqrt{6} = 0$$

Вычислим дискриминант:

$$D = 4(\sqrt{2} - \sqrt{3})^2 + 16\sqrt{6} = 4(2 - 2\sqrt{6} + 3) + 16\sqrt{6}$$

$$= 4(5 - 2\sqrt{6}) + 16\sqrt{6} = 20 - 8\sqrt{6} + 16\sqrt{6} = 20 + 8\sqrt{6}$$

$$= 4(5 + 2\sqrt{6}) = (2\sqrt{3} + 2\sqrt{2})^2$$

Найдём корни:

$$t_1 = \frac{-2(\sqrt{2} - \sqrt{3}) + 2\sqrt{3} + 2\sqrt{2}}{8} = \frac{-2\sqrt{2} + 2\sqrt{3} + 2\sqrt{3} + 2\sqrt{2}}{8} = \frac{4\sqrt{3}}{8} = \frac{\sqrt{3}}{2}$$

$$t_2 = \frac{-2(\sqrt{2} - \sqrt{3}) - 2\sqrt{3} - 2\sqrt{2}}{8} = \frac{-2\sqrt{2} + 2\sqrt{3} - 2\sqrt{3} - 2\sqrt{2}}{8} = \frac{-4\sqrt{2}}{8} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$$

Вернёмся к исходной переменной:

При $\sin x = \frac{\sqrt{3}}{2}$:

$$x = \frac{\pi}{3} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$$

$$x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$$

При $\sin x = -\frac{\sqrt{2}}{2}$:

$$x = -\frac{\pi}{4} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$$

$$x = \frac{5\pi}{4} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$$

**б) Отбор корней на промежутке $\left[ 3\pi;\frac{9\pi}{2} \right]$**

Проверим каждую серию:

Из $x = \frac{\pi}{3} + 2\pi n$: при $n = 1$ получаем $x = \frac{\pi}{3} + 2\pi = \frac{7\pi}{3} < 3\pi$; при $n = 2$ получаем $x = \frac{\pi}{3} + 4\pi = \frac{13\pi}{3} \approx 4{,}33\pi$, что входит в промежуток.

Из $x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi n$: при $n = 1$ получаем $x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi = \frac{8\pi}{3} < 3\pi$; при $n = 2$ получаем $x = \frac{2\pi}{3} + 4\pi = \frac{14\pi}{3} > \frac{9\pi}{2}$.

Из $x = -\frac{\pi}{4} + 2\pi n$: при $n = 2$ получаем $x = -\frac{\pi}{4} + 4\pi = \frac{15\pi}{4} = 3{,}75\pi$, что входит в промежуток.

Из $x = \frac{5\pi}{4} + 2\pi n$: при $n = 1$ получаем $x = \frac{5\pi}{4} + 2\pi = \frac{13\pi}{4} = 3{,}25\pi$, что входит в промежуток.

Задание №13УравненияЕГЭ по математике