Question

Найдите все значения $a$, при каждом из которых система уравнений

$$\left\{ \begin{array}{c} \frac{\left( y^{2}-7y+xy-4x+12 ight)\sqrt{x-4}}{\sqrt{y+7}}=0, \ a=x+y \end{array} ight.$$

имеет единственное решение.

Accepted Answer

Answer

Идея решения: разложить числитель дроби на множители, найти геометрическое место точек, удовлетворяющих ограничениям, и определить, при каких значениях параметра прямая $a = x + y$ пересекает это множество ровно один раз. Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель определён. Это даёт условие: $$y^{2}-7y+xy-4x+12=0$$ при $x \geq 4$ и $y > -7$. Переформулируем числитель как квадратное уравнение относительно $y$: $$y^{2}-y(7-x)-4x+12=0$$ Вычислим дискриминант: $$D=(7-x)^{2}-4(-4x+12)=49-14x+x^{2}+16x-48=x^{2}+2x+1=(x+1)^{2}$$ Корни: $$y=\frac{(7-x) \pm (x+1)}{2}$$ Получаем: $$y_{1}=\frac{(7-x)+(x+1)}{2}=4, \quad y_{2}=\frac{(7-x)-(x+1)}{2}=3-x$$ Множество решений первого уравнения состоит из двух частей: - горизонтальная прямая $y=4$; - прямая $y=3-x$. С учётом ограничений $x \geq 4$ и $y > -7$: **Для $y=4$:** условие $y > -7$ выполнено; условие $x \geq 4$ даёт луч $\{(x, 4) : x \geq 4\}$. **Для $y=3-x$:** условие $y > -7$ даёт $3-x > -7$, откуда $x < 10$; условие $x \geq 4$ даёт отрезок $\{(x, 3-x) : 4 \leq x < 10\}$. Второе уравнение $a=x+y$ задаёт семейство параллельных прямых с наклоном $-1$. На луче $y=4$ имеем $a=x+4$. При $x \geq 4$ получаем $a \geq 8$. На отрезке $y=3-x$ имеем $a=x+(3-x)=3$. Граничные точки: - При $x=4, y=4$: $a=8$ (точка $(4,4)$). - При $x=4, y=3-4=-1$: $a=3$ (точка $(4,-1)$). - При $x o 10^{-}, y o -7^{+}$: $a o 3$ (точка $(10,-7)$ не входит в область). Из графика видно, что система имеет единственное решение при: 1. $a=3$: прямая $a=x+y$ касается отрезка $y=3-x$ во всех его точках (бесконечно много решений) — не подходит. 2. $a \in (3, 8)$: прямая пересекает отрезок $y=3-x$ в одной точке и не пересекает луч $y=4$ — одно решение. 3. $a=8$: прямая проходит через точку $(4,4)$ (пересечение луча и отрезка) и далее идёт вдоль луча — бесконечно много решений — не подходит. 4. $a > 8$: прямая пересекает луч $y=4$ в одной точке — одно решение. Следовательно, система имеет единственное решение при $a \in (3, 8) \cup (8, +\infty)$.

Задание №18Параметры и теория чиселЕГЭ по математике