Question

В правильной треугольной пирамиде $SABC$ сторона основания $AB$ равна 6, а боковое ребро $SA$ равно $\sqrt{21}$ . На ребрах $AB$ и $SB$ отмечены точки $M$ и $K$ соответственно, причем $AM = 4$ , $SK : KB = 1 : 3$ .

а) Докажите, что плоскость $CKM$ перпендикулярна плоскости $ABC$ .

б) Найдите объем пирамиды $BCKM$ .

а) Докажите, что плоскость $CKM$ перпендикулярна плоскости $ABC$.

б) Найдите объем пирамиды $BCKM$.

Accepted Answer

Answer

Идея решения: установить перпендикулярность плоскостей через прямую, перпендикулярную основанию, а затем вычислить объем через площадь основания и высоту.

**а) Доказательство перпендикулярности плоскостей**

Обозначим $O$ центр основания (центроид треугольника $ABC$), $L$ — середину стороны $AC$, и $H$ — точку пересечения прямой $BL$ с отрезком $MC$.

Рассмотрим треугольник $ABC$. Применим теорему Менелая для прямой, проходящей через точки $M$, $H$, $C$:

$$\frac{BH}{HL} \cdot \frac{LC}{CA} \cdot \frac{AM}{MB} = 1$$

Подставим известные значения: $LC = 3$, $CA = 6$, $AM = 4$, $MB = 2$:

$$\frac{BH}{HL} \cdot \frac{3}{6} \cdot \frac{4}{2} = 1$$

$$\frac{BH}{HL} = 1 \Rightarrow BH = HL = \frac{3\sqrt{3}}{2}$$

Найдем длину медианы $BL$ в равностороннем треугольнике $ABC$:

$$BL = \sqrt{BC^2 - LC^2} = \sqrt{36 - 9} = 3\sqrt{3}$$

Так как $O$ — центроид, то $\frac{BO}{OL} = \frac{2}{1}$. Пусть $OL = x$, тогда $BO = 2x$ и $BL = 3x = 3\sqrt{3}$, откуда $x = \sqrt{3}$.

Следовательно:
$$OL = \sqrt{3}, \quad HO = HL - OL = \frac{3\sqrt{3}}{2} - \sqrt{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$$

Вычислим отношение:
$$\frac{BH}{BO} = \frac{\frac{3\sqrt{3}}{2}}{2\sqrt{3}} = \frac{3}{4}$$

По условию $SK : KB = 1 : 3$, поэтому $\frac{KB}{SB} = \frac{3}{4}$.

Так как $\frac{BH}{BO} = \frac{KB}{SB}$, прямая $KH$ параллельна прямой $SO$. Поскольку $SO$ перпендикулярна плоскости $ABC$ (высота пирамиды), то $KH \perp (ABC)$.

Прямая $KH$ лежит в плоскости $CKM$, поэтому $(CKM) \perp (ABC)$. ✓

**б) Вычисление объема пирамиды $BCKM$**

Из условия $SK : KB = 1 : 3$ и $SB = \sqrt{21}$ получаем:

$$SK + KB = SB \Rightarrow SK = \frac{\sqrt{21}}{4}, \quad KB = \frac{3\sqrt{21}}{4}$$

Найдем высоту $KH$ из треугольника $KHB$ по теореме Пифагора:

$$KH = \sqrt{KB^2 - BH^2} = \sqrt{\frac{9 \cdot 21}{16} - \frac{27}{4}} = \sqrt{\frac{189 - 108}{16}} = \sqrt{\frac{81}{16}} = \frac{9}{4}$$

Вычислим площадь треугольника $MBC$. Так как треугольник $ABC$ равносторонний, $\angle ABC = 60°$:

$$S_{	riangle MBC} = \frac{1}{2} \cdot MB \cdot BC \cdot \sin(\angle ABC) = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 6 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3}$$

Объем пирамиды $BCKM$ с основанием $MBC$ и высотой $KH$:

$$V_{BCKM} = \frac{1}{3} \cdot KH \cdot S_{	riangle MBC} = \frac{1}{3} \cdot \frac{9}{4} \cdot 3\sqrt{3} = \frac{9\sqrt{3}}{4}$$

Задание №14СтереометрияЕГЭ по математике