Question

Найдите наименьшее значение функции $y = (x - 9)^2(x + 4) - 4$ на отрезке $[7; 16]$.

Accepted Answer

-4

Answer

Идея решения: найти критические точки через производную, определить характер монотонности на отрезке и вычислить значение в точке минимума. Вычислим производную: $$y' = 2(x - 9)(x + 4) + (x - 9)^2$$ Вынесем общий множитель $(x - 9)$: $$y' = (x - 9)[2(x + 4) + (x - 9)]$$ $$y' = (x - 9)(2x + 8 + x - 9)$$ $$y' = (x - 9)(3x - 1)$$ Приравняем производную к нулю: $$(x - 9)(3x - 1) = 0$$ Получаем критические точки: $x = \frac{1}{3}$ и $x = 9$. На отрезке $[7; 16]$ находится только точка $x = 9$. Проанализируем знак производной методом интервалов: - при $x \in [7; 9)$: $(x - 9) < 0$ и $(3x - 1) > 0$, поэтому $y' < 0$ — функция убывает; - при $x \in (9; 16]$: $(x - 9) > 0$ и $(3x - 1) > 0$, поэтому $y' > 0$ — функция возрастает. Таким образом, $x = 9$ — точка локального минимума. На отрезке $[7; 16]$ наименьшее значение достигается в этой точке. Вычислим значение функции: $$y(9) = (9 - 9)^2(9 + 4) - 4 = 0 \cdot 13 - 4 = -4$$

Задание №12Функции, графики и производнаяЕГЭ по математике