Question

В основании пирамиды $SABCD$ лежит трапеция $ABCD$ с большим основанием $AD$. Диагонали трапеции пересекаются в точке $O$. Точки $M$ и $N$ — середины боковых сторон $AB$ и $CD$ соответственно. Плоскость $\alpha$ проходит через точки $M$ и $N$ параллельно прямой $SO$.

а) Докажите, что сечение пирамиды плоскостью $\alpha$ является трапецией.

б) Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью $\alpha$, если $AD = 10$, $BC = 8$, $SO = 8$, а прямая $SO$ перпендикулярна прямой $AD$.

Accepted Answer

Answer

Идея решения: построить сечение через точки $M$ и $N$ параллельно $SO$, используя подобие треугольников в основании и боковых гранях, затем вычислить площадь полученной трапеции.

**а) Доказательство**

1) Отрезок $MN$ — средняя линия трапеции $ABCD$, поэтому $MN \parallel AD$ и $MN \parallel BC$. Обозначим точки пересечения: $MN \cap AC = E$ и $MN \cap BD = F$.

2) Через точки $E$ и $F$ проведём прямые, параллельные $SO$. Пусть первая пересекает рёбра $SA$ и $SD$ в точках $K$ и $L$ соответственно.

3) В треугольнике $AOD$ рассмотрим линию $EF$. Поскольку $\angle AOD$ — общий и $\angle FEO = \angle DAO$ (соответственные углы при $EF \parallel AD$), треугольники $EOF$ и $AOD$ подобны. Следовательно:
$$\frac{EO}{AO} = \frac{OF}{OD} \implies \frac{AE}{EO} = \frac{FD}{OF}$$

4) В треугольнике $ASO$ с линией $EK \parallel SO$ (где $K$ на $SA$) имеем $\angle SAO$ — общий и $\angle AKE = \angle ASD$ (соответственные). Треугольники $AKE$ и $ASO$ подобны:
$$\frac{AE}{AO} = \frac{AK}{AS} \implies \frac{AE}{EO} = \frac{AK}{KS}$$

5) Аналогично в треугольнике $SDO$ с линией $LF \parallel SO$ (где $L$ на $SD$) получаем подобие $	riangle LDF \sim 	riangle SDO$:
$$\frac{LD}{SD} = \frac{FD}{OD} \implies \frac{SL}{LD} = \frac{OF}{FD}$$

6) Из пунктов 3–5 следует:
$$\frac{OF}{FD} = \frac{SL}{LD} = \frac{EO}{AE} = \frac{KS}{AK}$$

Отсюда $\frac{SL}{LD} = \frac{KS}{AK}$, что означает $KL \parallel AD$.

7) Поскольку $MN$ — средняя линия, $MN \parallel AD$ и $KL \parallel MN$, четырёхугольник $MKLN$ является трапецией. ✓

**б) Вычисление площади**

8) Из условия $SO \perp AD$ следует $SO \perp MN$. Поскольку $SO \parallel KE$ и $SO \parallel LF$, имеем $KE \perp MN$ и $LF \perp MN$. Так как $KL \parallel MN$ и $KE \parallel LF$, отрезки $KE$ и $LF$ — высоты трапеции $MKLN$, причём $KE = LF$.

9) Средняя линия трапеции $ABCD$:
$$MN = \frac{BC + AD}{2} = \frac{8 + 10}{2} = 9$$

10) Из подобия $	riangle MAE \sim 	riangle BAC$ (с общим углом $\angle BAC$ и $\angle AME = \angle ABC$):
$$\frac{ME}{BC} = \frac{AM}{AB} = \frac{1}{2} \implies ME = \frac{BC}{2} = 4$$

Аналогично $	riangle FON \sim 	riangle BDC$:
$$FN = \frac{BC}{2} = 4$$

Тогда:
$$EF = MN - ME - FN = 9 - 4 - 4 = 1$$

11) Из пункта 8: $KL = EF = 1$.

12) Из подобия в пункте 4: $\frac{EK}{SO} = \frac{AE}{AO}$.

Поскольку $EF = 1$ и $AD = 10$, имеем $\frac{EO}{AO} = \frac{EF}{AD} = \frac{1}{10}$.

Следовательно, $EO = \frac{AO}{10}$ и $AE = AO - \frac{AO}{10} = \frac{9AO}{10}$.

Тогда:
$$\frac{EK}{SO} = \frac{AE}{AO} = \frac{9}{10} \implies EK = \frac{9}{10} \cdot 8 = 7{,}2$$

13) Площадь трапеции $MKLN$:
$$S = EK \cdot \frac{MN + KL}{2} = 7{,}2 \cdot \frac{9 + 1}{2} = 7{,}2 \cdot 5 = 36$$

Задание №14СтереометрияЕГЭ по математике