Question

Найдите наибольшее значение функции $y = \ln(x+9)^5 - 5x$ на отрезке $[-8{,}5; 0]$.

Accepted Answer

40

Answer

Идея решения: найти критическую точку через производную, проверить её характер и вычислить значения функции в критической точке и на границах отрезка.

Вычислим производную:

$$y' = \frac{5}{x+9} - 5$$

Приравняем к нулю:

$$\frac{5}{x+9} - 5 = 0$$

$$\frac{5}{x+9} = 5$$

$$x + 9 = 1$$

$$x = -8$$

Критическая точка $x = -8$ принадлежит отрезку $[-8{,}5; 0]$.

Проанализируем знак производной на интервалах:
- При $x \in [-8{,}5; -8)$: $y' > 0$ (функция возрастает).
- При $x \in (-8; 0]$: $y' < 0$ (функция убывает).

Следовательно, $x = -8$ — точка максимума на данном отрезке.

Вычислим значение функции в этой точке:

$$y(-8) = \ln(1)^5 - 5 \cdot (-8) = 0 + 40 = 40$$

Задание №12Функции, графики и производнаяЕГЭ по математике